Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący z prędkością 108 km/h hamuje ze stałym opóźnieniem 6,5 m/s² aż do zatrzymania. Jak długo trwa hamowanie? Wyznacz t.
Kamień zostaje upuszczony bez prędkości początkowej do studni. Plusk słychać 1,9 s po puszczeniu kamienia. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s; pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz głębokość d studni.
Klocek o masie 14 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 30° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,1. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek o masie 10 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 4 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,1. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici.
Piłkę kopnięto z poziomego terenu z prędkością 16 m/s pod kątem 30° do poziomu w stronę muru odległego o 7 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Na jakiej wysokości y piłka mija mur?
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 55° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 10 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz czas lotu t, zanim piłka uderzy w ziemię.
W rotorze w wesołym miasteczku uczestnicy stoją przy ścianie pionowego walca o promieniu 2,1 m. Gdy obraca się on wystarczająco szybko, podłoga opada, a tarcie utrzymuje ich w górze. Współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,4. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz najmniejszą prędkość obrotową n w obrotach na minutę.
Kulka na nici o długości 1,2 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka jest najmniejsza prędkość vmin w najwyższym punkcie, przy której nić jest jeszcze napięta?
Samochód jadący z prędkością 70 km/h po poziomej drodze gwałtownie hamuje i z zablokowanymi kołami sunie aż do zatrzymania. Współczynnik tarcia kinetycznego między oponami a drogą wynosi 0,6. Wyznacz drogę hamowania d.
Sprężynę o sztywności 800 N/m u podstawy zbocza nachylonego pod kątem 15° ściśnięto o 20 cm, opierając o nią klocek o masie 3 kg, i zwolniono. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a zboczem wynosi 0,3. Jak daleko d w górę zbocza od punktu zwolnienia przesunie się klocek, zanim się zatrzyma? (Pomiń krótki odcinek, na którym działa sprężyna, tzn. uwzględnij tarcie i siłę ciężkości na całej drodze d).
Wózek o masie 3,5 kg jadący z prędkością 8 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 2 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′2 drugiego wózka po zderzeniu.
Piłka o masie 0,35 kg uderza w ścianę z prędkością 22 m/s i odbija się prosto do tyłu z prędkością 17 m/s. Kontakt trwa 20 ms. Wyznacz średnią siłę Favg, z jaką ściana działa na piłkę.
Koło zamachowe o momencie bezwładności 27,5 kg·m² wiruje z prędkością 400 obr/min. Hamulec wywiera stały moment tarcia 75 N·m. Jak długo t trwa zatrzymanie?
kula pusta w środku o masie 2 kg toczy się bez poślizgu z prędkością 5,5 m/s. Znajdź jego całkowitą energię kinetyczną Ek.
Silnik o mocy 22 kW pracujący z prędkością 2900 rpm napędza zębnik o 18 zębach i module 3 mm. Wyznacz siłę obwodową Ft działającą na zęby zębnika.
W przekładni dwustopniowej koło A (15 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 3000 rpm, napędza koło B (72 zębów). Koło C (48 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (50 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu nout.
Ciężarek o masie 2,7 kg na sprężynie o k = 400 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 18 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 16 cm od położenia równowagi.
Masę 1 kg na sprężynie o k = 100 N/m odciągnięto o 19 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie amax.
W próbie drgań swobodnych tłumionego układu masa–sprężyna po maksimum przemieszczenia 50 mm jeden cykl później następuje maksimum 19,3 mm. Wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
Masa 20 kg wisi na sprężynie k₃ = 5 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 5 kN/m i k₂ = 12 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Odpowiedź: t = 4,615 s
Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.
Odpowiedź: d = 16,81 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Sens fizyczny ma tylko dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: a = 4,055 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: T = 30,83 N
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Odpowiedź: y = 2,79 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Przy murze piłka jeszcze się wznosi.
Odpowiedź: t = 3,867 s
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: n = 32,63 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: vmin = 3,431 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: d = 32,12 m
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Podwojenie prędkości wydłuża drogę hamowania czterokrotnie.
Odpowiedź: d = 0,991 m
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: v′2 = 10,18 m/s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.
Odpowiedź: Favg = 682,5 N
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Odpowiedź: t = 15,36 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: Ek = 50,42 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Odpowiedź: Ft = 2683 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Odpowiedź: nout = 600 rpm
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
przełożenie całkowite = 5 : 1
Odpowiedź: v = 1,004 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: amax = 19 m/s²
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,1498
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Odpowiedź: fn = 2,212 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tylko k1 i k2 są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k3, więc połącz je przez odwrotności.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics