Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Kierowca jadący z prędkością 72 km/h dostrzega przeszkodę. Jego czas reakcji wynosi 1,4 s, po czym samochód hamuje ze stałym opóźnieniem 8 m/s². Wyznacz całkowitą drogę zatrzymania d od chwili dostrzeżenia przeszkody.
Tramwaj rusza z miejsca i przyspiesza z przyspieszeniem 2 m/s² przez 10 s, potem jedzie ze stałą prędkością przez 13 s, a na koniec hamuje z opóźnieniem 5 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz całkowitą drogę s między dwoma przystankami.
Klocek o masie 8 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 40° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek zostaje popchnięty tak, że zaczyna sunąć w górę rampy nachylonej pod kątem 15° z prędkością 7,5 m/s. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,25. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jak daleko d wzdłuż rampy przesunie się klocek, zanim się zatrzyma?
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 25° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz czas lotu t, zanim piłka uderzy w ziemię.
Piłkę wyrzucono z prędkością 15 m/s pod kątem 40° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 10 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość H nad ziemią u podnóża klifu.
Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 125 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,8. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.
Kulka o masie 0,6 kg na nici o długości 1,3 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. W najniższym punkcie ma prędkość 5,5 m/s. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici w najniższym punkcie.
Klocek o masie 0,5 kg zsuwa się na odcinku 5 m po zboczu nachylonym pod kątem 40° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,1. Wyznacz pracę Wf wykonaną przeciw tarciu.
Klocek o masie 2 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 3,5 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 4,5 m (μ = 0,25), a potem trafia na sprężynę (k = 4000 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.
Samochód o masie 2000 kg jadący z prędkością 25 m/s uderza w stojący samochód o masie 1600 kg i oba się sczepiają. Ile energii kinetycznej ΔK traci się w zderzeniu?
Na skrzyżowaniu samochód o masie 1800 kg jadący na wschód z prędkością 13 m/s zderza się z samochodem o masie 1100 kg jadącym na północ z prędkością 24 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz prędkość v′ wraku tuż po zderzeniu.
Klocek o masie 1,5 kg wisi na lekkiej linie nawiniętej na bloczek, czyli jednorodną pełną tarczę o masie 4 kg i promieniu 0,25 m, obracającą się na gładkiej poziomej osi. Klocek puszczono ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź przyspieszenie a klocka.
Jednorodny cienki pręt o masie 4 kg i długości 1,1 m wisi w spoczynku na gładkim przegubie w górnym końcu. Pocisk o masie 15 g, lecący poziomo z prędkością 280 m/s, uderza w pręt 0,89 m poniżej przegubu i w nim zostaje. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź największy kąt φ od pionu, o jaki wychyli się pręt.
Silnik o mocy 0,75 kW pracujący z prędkością 960 rpm napędza zębnik o 30 zębach, który zazębia się z kołem o 72 zębach. Pomiń straty. Wyznacz moment obrotowy T1 na wale silnika.
W przekładni dwustopniowej koło A (20 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 960 rpm, napędza koło B (45 zębów). Koło C (15 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (16 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu nout.
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 1,7 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
Ciężarek na sprężynie o k = 420 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 18 cm. Wyznacz energię U zmagazynowaną w sprężynie, gdy ciężarek znajduje się 10 cm od położenia równowagi.
Masa 15 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 200 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 1390 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.
Masa 40 kg wisi na sprężynie k₃ = 50 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 12 kN/m i k₂ = 5 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Odpowiedź: d = 53 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Odpowiedź: s = 400 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Odpowiedź: a = 4,051 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: d = 5,731 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Obie siły są skierowane w dół zbocza; masa się skraca.
Odpowiedź: t = 1,723 s
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Start i lądowanie na tej samej wysokości: t = 2vy/g.
Odpowiedź: H = 14,74 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Odpowiedź: vmax = 31,32 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: T = 19,85 N
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Kierunek do środka (w górę) jest dodatni.
Odpowiedź: Wf = 1,879 J
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: x = 15,26 cm
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.
Odpowiedź: ΔK = 277778 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Utracona energia zamienia się w odkształcenie, ciepło i dźwięk.
Odpowiedź: v′ = 12,16 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: a = 4,204 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: φ = 36,68 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Siła w przegubie przechodzi przez przegub, więc podczas uderzenia nie ma tam momentu.
Odpowiedź: T1 = 7,46 N·m
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
Odpowiedź: nout = 400 rpm
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
przełożenie całkowite = 2,4 : 1
Odpowiedź: L = 0,7181 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: U = 2,1 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,4013
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.
Odpowiedź: fn = 2,834 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tylko k1 i k2 są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k3, więc połącz je przez odwrotności.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics