Matematyka dla inżynierów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(9x² − 7x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 7x) − 3xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(4x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x²·e^2x. Wyznacz f′(0,5).

f(x) = x²·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 0,5x² + 2x + 2 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x² + 2x + 2x = 3

b =

5.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

7.Liczby zespoloneŚredni

Zapisz z = 12∠140° w postaci algebraicznej a + jb i podaj część rzeczywistą a.

r = 12θ = 140°

a =

8.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 4 i w = 16∠120° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Znajdź argument z₂ w stopniach, między −180° a 180°.

w = 16∠120°n = 4k = 2

θ₂ = °

9.Równania różniczkoweŚredni

Puszkę napoju o temperaturze 4 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 30 °C. Po 9 min jej temperatura wynosi 16 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 30 °CT(9) = 16 °C

k = min⁻¹

10.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y″ + 2y′ + 10y = 0 z y(0) = 2 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(1); kąty w radianach.

y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1) =

11.Macierze i wyznacznikiŚredni

Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c₁₂ (wiersz 1, kolumna 2).

A = [1 −6; −4 0]B = [3 −4; 1 4]

c₁₂ =

12.Macierze i wyznacznikiTrudny

Rozwiąż układ −6x − y = −7 i 2x − 3y = −9. Wyznacz x.

−6x − y = −72x − 3y = −9

x =

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (0, 1, 2) i b = (−6, k, −6) są prostopadłe.

a = (0, 1, 2)b = (−6, k, −6)

k =

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (5, −1, 0) i b = (−5, −2, −3) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (5, −1, 0)b = (−5, −2, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

16.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,25k = 5

P =

17.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 22, 29, 19, 58, 29, 19.

n = 6

s =

18.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 40. Jaka część P wartości leży powyżej 480?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

19.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 93,25 a 127 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 127

P =

20.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −1,167

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −7x/(√(9x² − 7x) + 3x)

Podziel przez x

f(x) = −7/(√(9 + (−7)/x) + 3)

Niech x → ∞

L = −7/(3 + 3) = −1,167

Odpowiedź

L = −1,167

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

Podstaw x = 0

L = 2/4 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0.5) = 4,077

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Podstaw

f′(0,5) = 2,718·(1 + 0,5) = 4,077

Odpowiedź

f′(0,5) = 4,077

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −2,5

Punkt i nachylenie

f(3) = 12,5

f′(x) = x + 2 → f′(3) = 5

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 12,5 − 5·3 = −2,5

Odpowiedź

b = −2,5

5.Całki

Odpowiedź: I = 3,75

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Odpowiedź

I = 3,75

6.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Punkty przecięcia

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

7.Liczby zespolone

Odpowiedź: a = −9,193

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Składowe

a = 12·cos(140°) = −9,193

b = 12·sin(140°) = 7,713

Postać algebraiczna

z = −9,193 + j7,713

a = −9,193

Odpowiedź

a = −9,193

8.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ₂ = −150 °

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

16^1/4 = 2

Argument pierwiastka

θ₂ = (120° + 360°·2)/4 = 210° → −150°

Argument

θ₂ = −150°

Odpowiedź

θ₂ = −150°

Pierwiastki (4) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 90°.

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,06878 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−9k = -14/-26

Wyznacz k

k = ln(-26/-14)/9 = 0,06878 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,06878 min⁻¹

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1) = −0,6938

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki zespolone

r = −1 ± 3j

Stałe

A = 2, B = 1·2/3 = 0,6667

Oblicz

y(1) = e⁻¹(2·cos 3 + 0,6667·sin 3) = −0,6938

Odpowiedź

y(1) = −0,6938

11.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: c₁₂ = −28

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Wiersz razy kolumna

c₁₂ = 1·(−4) + (−6)·4 = −28

Odpowiedź

c₁₂ = −28

12.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: x = 0,6

Wyznacznik macierzy współczynników

det A = (−6)·(−3) − (−1)·2 = 20

Zastąp kolumnę x

det Aₓ = (−7)·(−3) − (−1)·(−9) = 12

x = 12/20 = 0,6

Odpowiedź

x = 0,6

y = 3,4

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 12

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = 0·(−6) + 1·k + 2·(−6) = 0

−12 + 1·k = 0

Wyznacz k

k = −(−12)/1 = 12

Odpowiedź

k = 12

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = −0,14

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−3) − 0·(−2) = 3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−5) − 5·(−3) = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−2) − (−1)·(−5) = −15

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √(3² + 15² + (−15)²) = 21,42

n̂ = −(3, 15, −15)/21,42 = (−0,14, −0,7001, 0,7001)

n̂_x = −0,14

Odpowiedź

n̂_x = −0,14

15.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

16.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,004395

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 6·0,25⁵·0,75¹ = 6·0,0009766·0,75 = 0,004395

Odpowiedź

P = 0,004395

17.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,76

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 176/6 = 29,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + (−0,3333)² + (−10,33)² + 28,67² + (−0,3333)² + (−10,33)² = 1089

Odchylenie standardowe

s = √(1089/5) = 14,76

Odpowiedź

s = 14,76

18.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

19.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6377

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

Pole pomiędzy

P = Φ(1,8) − Φ(−0,45) = 0,9641 − 0,3264 = 0,6377

Odpowiedź

P = 0,6377

20.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 172,1 cm

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Odpowiedź

x = 172,11 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics