Matematyka dla inżynierów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 6x² + 9x + 2. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ + 6x² + 9x + 2

x =

5.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

7.Liczby zespoloneŚredni

Zapisz z = −5 + j2 w postaci wykładniczej r·e^jθ. Podaj θ w radianach, między −π a π.

z = −5 + j2

θ = rad

8.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 3 i w = 8∠45° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Znajdź część urojoną z₀.

w = 8∠45°n = 3k = 0

Im(z₀) =

9.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 6y′ + 9y = 0 z y(0) = 5 i y′(0) = -2. Wyznacz y(0,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(0.5) =

10.Równania różniczkoweTrudny

Układ spełnia równanie y″ + 4y′ + 20y = 40 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(0,75); kąty w radianach.

y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.Macierze i wyznacznikiŚredni

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [4 −3 5; 3 −1 −2; −2 0 4]

det A =

12.Macierze i wyznacznikiTrudny

Wyznacz większą wartość własną λ pokazanej macierzy A.

A = [6 −1; 8 −3]

λ =

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (5, −25, −5) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(5, 5, −3) do punktu B(−3, −3, 0). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (5, −25, −5) NA(5, 5, −3) mB(−3, −3, 0) m

W = J

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (2, −1, −2) i b = (−1, −1, 0) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (2, −1, −2)b = (−1, −1, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 5 kul czerwonych i 6 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

5 / 6

P =

16.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 0,5X + 4

σ_Y =

17.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 29, 24, 51, 18.

n = 5

s =

18.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 152?

μ = 170σ = 12x = 152

P =

19.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 199,8 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

20.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 0,1353

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

Odwróć logarytm

L = e⁻² = 0,1353

Odpowiedź

L = 0,1353

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,2

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

Podstaw x = 0

L = 1/5 = 0,2

Odpowiedź

L = 0,2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Odpowiedź

f′(1,5) = −1,926

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −1

Pochodna

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = −1

Które jest które

f″(x) = 6x + 12: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Odpowiedź

x = −1

5.Całki

Odpowiedź: I = 156

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Odpowiedź

I = 156

6.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

7.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = 2,761 rad

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł

r = √(25 + 4) = 5,385

Argument w radianach

θ = 158,2° = 158,2·π/180 = 2,761 rad

Postać wykładnicza

z = 5,385·e^j2,761

Odpowiedź

θ = 2,761 rad

8.Liczby zespolone

Odpowiedź: Im(z₀) = 0,5176

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

8^1/3 = 2

Argument pierwiastka

θ₀ = (45° + 360°·0)/3 = 15°

Postać algebraiczna

z₀ = 2·(cos 15° + j sin 15°) = 1,932 + j0,5176

Im(z₀) = 0,5176

Odpowiedź

Im(z₀) = 0,5176

Pierwiastki (3) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 120°.

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 2,566

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 3)² = 0 → r = −3

Stałe

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 15 = 13

Oblicz

y(0,5) = (5 + 13·0,5)·e^−1,5 = 2,566

Odpowiedź

y(0,5) = 2,566

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.75) = 2,41

Wartość ustalona i pierwiastki

y_ss = 2, r = −2 ± 4j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −1

Oblicz

y(0,75) = 2·(1 − e^−1,5(cos 3 + 0,5·sin 3)) = 2,41

Odpowiedź

y(0,75) = 2,41

11.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: det A = −2

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = −4, M₁₂ = 8, M₁₃ = −2

Rozwinięcie Laplace'a

det A = 4·(−4) − (−3)·8 + 5·(−2) = −2

Odpowiedź

det A = −2

12.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: λ = 5

Równanie charakterystyczne

λ² − (3)λ + (−10) = 0

Rozwiąż

λ = (3 ± √(49))/2 → λ = −2, 5

λ = 5

Odpowiedź

λ = 5

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 145 J

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (−3, −3, 0) − (5, 5, −3) = (−8, −8, 3) m

Praca

W = F·d = 5·(−8) + (−25)·(−8) + (−5)·3 = 145 J

Odpowiedź

W = 145 J

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = 0,4851

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·0 − (−2)·(−1) = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−1) − 2·0 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−1) − (−1)·(−1) = −3

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √((−2)² + 2² + (−3)²) = 4,123

n̂ = −(−2, 2, −3)/4,123 = (0,4851, −0,4851, 0,7276)

n̂_x = 0,4851

Odpowiedź

n̂_x = 0,4851

15.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1818

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818

Odpowiedź

P = 0,1818

16.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 0,4183

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·0,8367 = 0,4183

Odpowiedź

σ_Y = 0,4183

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·1 + 4 = 4,5.

17.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,2

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 179/5 = 35,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 21,2² + (−6,8)² + (−11,8)² + 15,2² + (−17,8)² = 1183

Odchylenie standardowe

s = √(1183/4) = 17,2

Odpowiedź

s = 17,2

18.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

19.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6554

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaryzuj

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Górny ogon

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

20.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 173,3 cm

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Odpowiedź

x = 173,28 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics