Matematyka dla inżynierów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 4x) − x).

f(x) = √(x² − 4x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 3x² − 9x − 5. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 5

x =

5.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

6.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x² i y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

7.Liczby zespoloneŚredni

Zapisz z = −2 − j3 w postaci wykładniczej r·e^jθ. Podaj θ w radianach, między −π a π.

z = −2 − j3

θ = rad

8.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 4 i w = 16∠60° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Znajdź część rzeczywistą z₁.

w = 16∠60°n = 4k = 1

Re(z₁) =

9.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 380 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 29 °C. Po 60 min jej temperatura wynosi 46 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 380 °CT_a = 29 °CT(60) = 46 °C

k = min⁻¹

10.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 3y/x = 6x² dla x > 0, z y(1) = −1. Wyznacz y(2).

y′ + 3y/x = 6x²y(1) = −1

y(2) =

11.Macierze i wyznacznikiŚredni

Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c₁₁ (wiersz 1, kolumna 1).

A = [−4 −1; 6 4]B = [−5 3; 1 −3]

c₁₁ =

12.Macierze i wyznacznikiTrudny

Wyznacz większą wartość własną λ pokazanej macierzy A.

A = [−1 −3; 6 8]

λ =

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (−3, −1, −1) i b = (−5, −3, 3), w stopniach.

a = (−3, −1, −1)b = (−5, −3, 3)

θ = °

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−3, −2, −5) i b = (4, 4, 2) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂_y.

a = (−3, −2, −5)b = (4, 4, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

15.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 6k = 2

N =

16.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 10p = 0,6k = 4

P =

17.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 32, 39, 46, 34, 20.

n = 6

s =

18.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży powyżej 400?

μ = 500σ = 50x = 400

P =

19.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 246,25 a 256,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 256,25

P =

20.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −4x/(√(x² − 4x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −4/(1 + 1) = −2

Odpowiedź

L = −2

2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/2

Podstaw x = 0

L = 4/2 = 2

Odpowiedź

L = 2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Odpowiedź

f′(1,5) = −1,926

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −3

Pochodna

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = 1

Które jest które

f″(x) = 6x + 6: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Odpowiedź

x = −3

5.Całki

Odpowiedź: I = 6,963

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^0,5x/0,5

Podstaw granice

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Odpowiedź

I = 6,963

6.Całki

Odpowiedź: A = 5,333

Punkty przecięcia

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Całkuj górną minus dolną

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Odpowiedź

A = 5,333

7.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = −2,159 rad

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł

r = √(4 + 9) = 3,606

Argument w radianach

θ = −123,7° = −123,7·π/180 = −2,159 rad

Postać wykładnicza

z = 3,606·e^−j2,159

Odpowiedź

θ = −2,159 rad

8.Liczby zespolone

Odpowiedź: Re(z₁) = −0,5176

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

16^1/4 = 2

Argument pierwiastka

θ₁ = (60° + 360°·1)/4 = 105°

Postać algebraiczna

z₁ = 2·(cos 105° + j sin 105°) = −0,5176 + j1,932

Re(z₁) = −0,5176

Odpowiedź

Re(z₁) = −0,5176

Pierwiastki (4) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 90°.

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,05046 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−60k = 17/351

Wyznacz k

k = ln(351/17)/60 = 0,05046 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,05046 min⁻¹

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 7,75

Czynnik całkujący

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Całkuj

(x³y)′ = 6x⁵ → x³y = 6x⁶/6 + C

Warunek początkowy

−1 = 6/6 + C → C = −2

Oblicz

y(2) = (6·2⁶/6 + (−2))/2³ = 7,75

Odpowiedź

y(2) = 7,75

11.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: c₁₁ = 19

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Wiersz razy kolumna

c₁₁ = (−4)·(−5) + (−1)·1 = 19

Odpowiedź

c₁₁ = 19

12.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: λ = 5

Równanie charakterystyczne

λ² − (7)λ + (10) = 0

Rozwiąż

λ = (7 ± √(9))/2 → λ = 2, 5

λ = 5

Odpowiedź

λ = 5

13.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 46,39 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−3)·(−5) + (−1)·(−3) + (−1)·3 = 15

Długości

|a| = √((−3)² + (−1)² + (−1)²) = 3,317

|b| = √((−5)² + (−3)² + 3²) = 6,557

Kąt

cos θ = 15/(3,317·6,557) = 0,6897

θ = arccos(0,6897) = 46,39°

Odpowiedź

θ = 46,39°

14.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_y = 0,6472

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·2 − (−5)·4 = 16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·4 − (−3)·2 = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − (−2)·4 = −4

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √(16² + (−14)² + (−4)²) = 21,63

n̂ = −(16, −14, −4)/21,63 = (−0,7396, 0,6472, 0,1849)

n̂_y = 0,6472

Odpowiedź

n̂_y = 0,6472

15.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 15

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Odpowiedź

N = 15

16.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1115

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 210·0,6⁴·0,4⁶ = 210·0,1296·0,004096 = 0,1115

Odpowiedź

P = 0,1115

17.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,602

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 204/6 = 34

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−2)² + 5² + 12² + 0² + (−14)² = 370

Odchylenie standardowe

s = √(370/5) = 8,602

Odpowiedź

s = 8,602

18.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

19.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6677

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677

Odpowiedź

P = 0,6677

20.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 169 cm

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Odpowiedź

x = 169,03 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics