Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 100 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 75% i swoistość 98%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 15%. Oblicz dodatnią wartość predykcyjną PPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 75%Sp = 98%p = 15%
PPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 15, 55, 20, 23.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 200.
μ = 170σ = 20x = 200
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
U 20 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −8,3 i odchylenie standardowe 5,5. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 20d̄ = −8,3sd = 5,599%t(19) = 2,861
górna granica = mmHg
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 68 kg, odchylenie standardowe 1,5 kg. Grupa poletek 2: 9 poletek, średnia 61 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 100; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 15. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 96,79. Przetestuj H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ < 100. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 100σ = 15n = 100x̄ = 96,79H₁: μ < μ₀
p =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 81 pomiarów ma średnią 98,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 98,9σ = 8n = 8190%
U =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 44,2 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 60·4 + 430·4 + 600·0,5 = 2260
Współczynnik zapadalności
IR = 100/2260·1000 = 44,2 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 44,2 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: PPV = 86,9 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie dodatnie (na osobę)
Se·p = 0,75·0,15 = 0,1125
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,02·0,85 = 0,017
Dodatnia wartość predykcyjna
PPV = 0,1125/(0,1125 + 0,017) = 0,8687 ≈ 86,9%
Odpowiedź
PPV = 86,9%
Im niższa chorobowość, tym niższe PPV tego samego testu.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,8
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (200 − 170)/20 = 1,5
Odpowiedź
z = 1,5
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −4,781 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 19, t = 2,861
Margines błędu
E = 2,861·5,5/√20 = 3,519
Przedział
−8,3 ± 3,519 → [−11,82, −4,781]
Odpowiedź
górna granica = −4,781 mmHg
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 14,03 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (6·1,5² + 8·8,5²)/14 = 42,25
sp = 6,5
Margines błędu
E = 2,145·6,5·√(1/7 + 1/9) = 7,026
Przedział
7 ± 7,026 → [−0,02636, 14,03]
Odpowiedź
górna granica = 14,03 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,01618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (96,79 − 100)/1,5 = −2,14
Pole ogona
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
Wartość p
p = 0,01618
Odpowiedź
p = 0,01618
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 100,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).