Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 27 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
560 × 5 lata220 × 3 lata27 nowe przypadki
IR = na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 84% i swoistości 82%. Chorobowość wynosi 6%. Ile wyników fałszywie dodatnich FP można oczekiwać?
N = 10 000p = 6%Se = 84%Sp = 82%
FP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 20, 14, 27, 20, 25.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 40.
μ = 60σ = 10x = 40
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 15 elementów ma średnią 57 i odchylenie standardowe s = 10,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 15x̄ = 57s = 10,590%t(14) = 1,761
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 13. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 13E = 190%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 49 studentów ma średni wynik 105 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 105s = 12n = 49
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 16 pomiarów ma średnią 500,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 500,5σ = 5n = 1690%
U =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 7,8 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 560·5 + 220·3 = 3460
Współczynnik zapadalności
IR = 27/3460·1000 = 7,8 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 7,8 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FP = 1692
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,06 = 600
10 000 − 600 = 9400
Wyniki fałszywie dodatnie
FP = 9400·0,18 = 1692
Odpowiedź
FP = 1692
Spośród 2196 wyników dodatnich tylko 504 dotyczy osób z chorobą (PPV 23%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,35
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (40 − 60)/10 = −2
Odpowiedź
z = −2
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 52,23
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Margines błędu
E = 1,761·10,5/√15 = 4,774
Przedział
57 ± 4,774 → [52,23, 61,77]
Odpowiedź
dolna granica = 52,23
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 458
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·13/1)² = 457,3
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 458
Odpowiedź
n = 458
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,917
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Statystyka testowa
t = (105 − 100)/1,714 = 2,917
Odpowiedź
t = 2,917
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 502,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).