Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu kohortowym osoby narażone wniosły 7400 osobolat z 422 nowymi przypadkami, a osoby nienarażone 2700 osobolat z 51 nowymi przypadkami. Oblicz iloraz współczynników zapadalności IRR (narażeni w porównaniu z nienarażonymi). Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
narażeni: 422/7400 PYnienarażeni: 51/2700 PY
IRR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 98% i swoistość 84%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 10%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 98%Sp = 84%p = 10%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 34, 20, 58, 52, 26.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Wyznacz wynik z z dla wyniku 460.
μ = 500σ = 50x = 460
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 2,7. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 900 obserwacji?
99%n₁ = 100E₁ = 2,7n₂ = 900
E₂ =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 96,5 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Grupa poletek 2: 19 poletek, średnia 87 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 30 części ma średnią długość 146,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 7 mm. Linia 2: próba 50 części ma średnią 143,2 mm, znane odchylenie standardowe 14 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 42 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 57 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 57n₂ = 250
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IRR = 3,02
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Współczynniki zapadalności
narażeni: 422/7400 = 57,03 na 1000 osobolat
nienarażeni: 51/2700 = 18,89 na 1000 osobolat
Iloraz współczynników
IRR = 57,03/18,89 = 3,019 ≈ 3,02
Odpowiedź
IRR = 3,02
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 99,7 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,84·0,9 = 0,756
(1 − Se)·p = 0,02·0,1 = 0,002
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,756/(0,756 + 0,002) = 0,9974 ≈ 99,7%
Odpowiedź
NPV = 99,7%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,43
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (460 − 500)/50 = −0,8
Odpowiedź
z = −0,8
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 0,9
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/900) = 0,3333
Nowy margines
E₂ = 2,7·0,3333 = 0,9
Odpowiedź
E₂ = 0,9
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,425 kg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (11·8,5² + 18·2²)/29 = 29,89
sp = 5,467
Margines błędu
E = 1,699·5,467·√(1/12 + 1/19) = 3,425
Odpowiedź
E = 3,425 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,4
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(7²/30 + 14²/50) = √5,553 = 2,357
Statystyka testowa
z = (146,5 − 143,2)/2,357 = 1,4
Odpowiedź
z = 1,4
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,482
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 42/120 = 0,35
p̂₂ = 57/250 = 0,228
p̂ = 99/370 = 0,2676
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,2676·0,7324·(1/120 + 1/250)) = 0,04916
Statystyka testowa
z = (0,35 − 0,228)/0,04916 = 2,482
Odpowiedź
z = 2,482
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).