Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu porównano nowy test ze standardem referencyjnym (zob. tabela 2 × 2). Oblicz dodatni iloraz wiarygodności LR+. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 303b = 30c = 37d = 470
LR+ =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 30%. Test o czułości 76% i swoistości 61% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 30%Se = 76%Sp = 61%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 22, 42, 38, 54, 43, 58.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Wyznacz wynik z z dla wyniku 545.
μ = 500σ = 75x = 545
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 81,5 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 9x̄ = 81,5s = 7,595%t(8) = 2,306
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?
σ = 31E = 490%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 500; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 40. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 494,88. Przetestuj H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 500σ = 40n = 100x̄ = 494,88H₁: μ < μ₀
p =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 199%
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR+ = 14,85
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Czułość i swoistość
Se = 303/340 = 0,8912
Sp = 470/500 = 0,94
Dodatni iloraz wiarygodności
LR+ = 0,8912/(1 − 0,94) = 14,85
Odpowiedź
LR+ = 14,85
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 45,5 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,76/(1 − 0,61) = 1,949
Szanse przedtestowe
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Szanse potestowe
0,4286·1,949 = 0,8352
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,8352/(1 + 0,8352) = 0,4551 ≈ 45,5%
Odpowiedź
p′ = 45,5%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 12,75
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (545 − 500)/75 = 0,6
Odpowiedź
z = 0,6
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 5,765
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Margines błędu
E = 2,306·7,5/√9 = 5,765
Odpowiedź
E = 5,765
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 163
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·31/4)² = 162,5
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 163
Odpowiedź
n = 163
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,1003
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (494,88 − 500)/4 = −1,28
Pole ogona
Φ(1,28) = 0,8997
1 − Φ(1,28) = 0,1003
Wartość p
p = 0,1003
Odpowiedź
p = 0,1003
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).