Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test ma czułość 60% i swoistość 68%. Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Se = 60%Sp = 68%
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 75% i swoistości 97%. Chorobowość wynosi 28%. Ile wyników prawdziwie dodatnich TP można oczekiwać?
N = 10 000p = 28%Se = 75%Sp = 97%
TP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 41, 32, 30, 20.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 60?
μ = 70σ = 10x = 60
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 20 elementów ma średnią 52 i odchylenie standardowe s = 12. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 20x̄ = 52s = 1295%t(19) = 2,093
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 4,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 4,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 503 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503s = 5n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 4 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 12. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 95%δ = 4σ = 12zα = 2,326zβ = 1,645
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,59
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,6)/0,68 = 0,5882 ≈ 0,59
Odpowiedź
LR− = 0,59
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: TP = 2100
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,28 = 2800
10 000 − 2800 = 7200
Wyniki prawdziwie dodatnie
TP = 2800·0,75 = 2100
Odpowiedź
TP = 2100
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 7,483
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 155/5 = 31
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 1² + 10² + 1² + (−1)² + (−11)² = 224
Odchylenie standardowe
s = √(224/4) = 7,483
Odpowiedź
s = 7,483
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1587
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 57,62
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margines błędu
E = 2,093·12/√20 = 5,616
Przedział
52 ± 5,616 → [46,38, 57,62]
Odpowiedź
górna granica = 57,62
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 3,672 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·4,8² = 460,8
Granice dla σ²
460,8/34,17 = 13,49
460,8/9,591 = 48,05
Granica dla σ
σ = √13,49 = 3,672 µm
Odpowiedź
σ = 3,672 µm
Przedział 95 % dla σ: [3,672, 6,931] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statystyka testowa
t = (503 − 500)/1,25 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 142
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.