Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 48 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
280 × 2 lata260 × 2 lata48 nowe przypadki
IR = na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 78% i swoistości 81%. Chorobowość wynosi 8%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 8%Se = 78%Sp = 81%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 39, 23, 54, 57, 44.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 115.
μ = 100σ = 15x = 115
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 122 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 118 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?
σ = 8E = 2,595%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
20 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 5,4, a odchylenie standardowe różnic 11,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 5,4sd = 11,5
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 135 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 46 z 80 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 46n₂ = 80
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 44,4 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 280·2 + 260·2 = 1080
Współczynnik zapadalności
IR = 48/1080·1000 = 44,4 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 44,4 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 2372
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,08 = 800
10 000 − 800 = 9200
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 800·0,78 = 624
FP = 9200·0,19 = 1748
n₊ = 624 + 1748 = 2372
Odpowiedź
n₊ = 2372
Spośród 2372 wyników dodatnich tylko 624 dotyczy osób z chorobą (PPV 26,3%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,54
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (115 − 100)/15 = 1
Odpowiedź
z = 1
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,113 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 122 − 118 = 4
Błąd standardowy
SE = √(13²/100 + 5²/30) = 1,589
Margines błędu
E = 1,96·1,589 = 3,113
Odpowiedź
E = 3,113 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 40
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·8/2,5)² = 39,34
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 40
Odpowiedź
n = 40
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 11,5/√20 = 2,571
Statystyka testowa
t = 5,4/2,571 = 2,1
Odpowiedź
t = 2,1
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,989
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 46/80 = 0,575
p̂ = 181/380 = 0,4763
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,4763·0,5237·(1/300 + 1/80)) = 0,06284
Statystyka testowa
z = (0,45 − 0,575)/0,06284 = −1,989
Odpowiedź
z = −1,989
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).