Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu porównano nowy test ze standardem referencyjnym (zob. tabela 2 × 2). Oblicz dodatni iloraz wiarygodności LR+. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 218b = 510c = 112d = 1380
LR+ =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 15%. Test o czułości 67% i swoistości 66% daje wynik: ujemna. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 15%Se = 67%Sp = 66%ujemna
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 55, 51, 40, 54, 40, 24.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 70.
μ = 100σ = 15x = 70
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 107,5 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 11x̄ = 107,5s = 1499%t(10) = 3,169
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 14. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 14E = 1,590%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 56 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 56s = 10n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 16. W rzeczywistości średnia wynosi 86,8. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 80μ = 86,8σ = 16n = 64α = 0,01
β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR+ = 2,45
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Czułość i swoistość
Se = 218/330 = 0,6606
Sp = 1380/1890 = 0,7302
Dodatni iloraz wiarygodności
LR+ = 0,6606/(1 − 0,7302) = 2,448 ≈ 2,45
Odpowiedź
LR+ = 2,45
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 8,1 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,67)/0,66 = 0,5
Szanse przedtestowe
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Szanse potestowe
0,1765·0,5 = 0,08824
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,08824/(1 + 0,08824) = 0,08108 ≈ 8,1%
Odpowiedź
p′ = 8,1%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,85
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (70 − 100)/15 = −2
Odpowiedź
z = −2
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 13,38
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margines błędu
E = 3,169·14/√11 = 13,38
Odpowiedź
E = 13,38
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 236
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·14/1,5)² = 235,7
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 236
Odpowiedź
n = 236
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Statystyka testowa
t = (56 − 50)/2,5 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 14,14 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).