Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 210 pacjentów z chorobą (przypadki) i 190 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 32b = 19c = 178d = 171
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 77% i swoistości 80%. Chorobowość wynosi 29%. Ilu osób z chorobą test nie wykrywa (wyniki fałszywie ujemne, FN)?
N = 10 000p = 29%Se = 77%Sp = 80%
FN =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 47, 18, 23, 53, 33.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 75.
μ = 50σ = 20x = 75
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,9. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 99 % z tych samych danych?
90%n₁ = 36E₁ = 3,999%
E₂ =
6.Przedziały ufnościTrudny
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,01?
p = 0,5E = 0,0190%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 11 uczniów, średni wynik 21, odchylenie standardowe 10,5. Grupa 2: 10 uczniów, średni wynik 9,6, odchylenie standardowe 9,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 11x̄₁ = 21s₁ = 10,5n₂ = 10x̄₂ = 9,6s₂ = 9,5
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 40 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 46 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 46n₂ = 200
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 1,62
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 32/178 = 0,1798
kontrole: 19/171 = 0,1111
Iloraz szans
OR = (32·171)/(19·178) = 1,618 ≈ 1,62
Odpowiedź
OR = 1,62
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FN = 667
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
Wyniki fałszywie ujemne
FN = 2900·0,23 = 667
Odpowiedź
FN = 667
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,04
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (75 − 50)/20 = 1,25
Odpowiedź
z = 1,25
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 6,107
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566
Nowy margines
E₂ = 3,9·1,566 = 6,107
Odpowiedź
E₂ = 6,107
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 6766
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765
Zaokrąglij w górę
n = 6766
Odpowiedź
n = 6766
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,599
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (10·10,5² + 9·9,5²)/19 = 100,8
sp = 10,04
Błąd standardowy
SE = 10,04·√(1/11 + 1/10) = 4,386
Statystyka testowa
t = (21 − 9,6)/4,386 = 2,599
Odpowiedź
t = 2,599
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −0,7302
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 40/200 = 0,2
p̂₂ = 46/200 = 0,23
p̂ = 86/400 = 0,215
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,215·0,785·(1/200 + 1/200)) = 0,04108
Statystyka testowa
z = (0,2 − 0,23)/0,04108 = −0,7302
Odpowiedź
z = −0,7302
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).