Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 310 pacjentów z chorobą (przypadki) i 230 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 47b = 71c = 263d = 159
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 77% i swoistość 93%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 3%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 77%Sp = 93%p = 3%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 50, 10, 13, 11, 20, 30.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 90.
μ = 60σ = 20x = 90
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 4,9 i odchylenie standardowe 7,4. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 8d̄ = 4,9sd = 7,499%t(7) = 3,499
górna granica = mmHg
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 10E = 199%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 53,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 11 mm. Linia 2: próba 60 części ma średnią 49,2 mm, znane odchylenie standardowe 8 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 0,595%
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 0,4
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 47/263 = 0,1787
kontrole: 71/159 = 0,4465
Iloraz szans
OR = (47·159)/(71·263) = 0,4002 ≈ 0,4
Odpowiedź
OR = 0,4
OR poniżej 1: narażenie jest rzadsze wśród przypadków, co sugeruje działanie ochronne.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 99,2 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,93·0,97 = 0,9021
(1 − Se)·p = 0,23·0,03 = 0,0069
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,9021/(0,9021 + 0,0069) = 0,9924 ≈ 99,2%
Odpowiedź
NPV = 99,2%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,47
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (90 − 60)/20 = 1,5
Odpowiedź
z = 1,5
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 14,05 mmHg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 7, t = 3,499
Margines błędu
E = 3,499·7,4/√8 = 9,154
Przedział
4,9 ± 9,154 → [−4,254, 14,05]
Odpowiedź
górna granica = 14,05 mmHg
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·10/1)² = 663,6
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 664
Odpowiedź
n = 664
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,677
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(11²/80 + 8²/60) = √2,579 = 1,606
Statystyka testowa
z = (53,5 − 49,2)/1,606 = 2,677
Odpowiedź
z = 2,677
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 246
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).