Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu porównano nowy test ze standardem referencyjnym (zob. tabela 2 × 2). Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 37b = 143c = 23d = 367
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 95% i swoistości 77%. Chorobowość wynosi 5%. Ile wyników prawdziwie dodatnich TP można oczekiwać?
N = 10 000p = 5%Se = 95%Sp = 77%
TP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 32, 27, 16, 56.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 40?
μ = 60σ = 10x = 40
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 60 telefonów, średnia 139 h, znane odchylenie standardowe 7 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 141 h, znane odchylenie standardowe 8 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 2,5 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 2,5 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 506 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 506s = 15n = 36
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 124,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 124,5σ = 15n = 2590%
L =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,53
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Czułość i swoistość
Se = 37/60 = 0,6167
Sp = 367/510 = 0,7196
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,6167)/0,7196 = 0,5327 ≈ 0,53
Odpowiedź
LR− = 0,53
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: TP = 475
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Wyniki prawdziwie dodatnie
TP = 500·0,95 = 475
Odpowiedź
TP = 475
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,86
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 0,8254 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 139 − 141 = −2
Błąd standardowy
SE = √(7²/60 + 8²/30) = 1,718
Margines błędu
E = 1,645·1,718 = 2,825
Przedział
−2 ± 2,825 → [−4,825, 0,8254]
Odpowiedź
górna granica = 0,8254 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 3,61 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·2,5² = 125
Granice dla σ²
125/34,17 = 3,658
125/9,591 = 13,03
Granica dla σ
σ = √13,03 = 3,61 µm
Odpowiedź
σ = 3,61 µm
Przedział 95 % dla σ: [1,913, 3,61] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statystyka testowa
t = (506 − 500)/2,5 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 119,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).