Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu porównano nowy test ze standardem referencyjnym (zob. tabela 2 × 2). Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 30b = 251c = 10d = 839
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 80% i swoistość 84%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 3%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 80%Sp = 84%p = 3%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 60, 53, 13, 44, 27.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 59?
μ = 50σ = 15x = 59
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 7 elementów ma średnią 10,5 i odchylenie standardowe s = 3. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 7x̄ = 10,5s = 395%t(6) = 2,447
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 9 poletek, średni plon 59 kg, odchylenie standardowe 7 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 68 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 36 studentów ma średni wynik 198,5 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,5s = 5n = 36
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 100 pomiarów ma średnią 49,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 49,6σ = 12n = 10095%
L =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,32
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Czułość i swoistość
Se = 30/40 = 0,75
Sp = 839/1090 = 0,7697
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,75)/0,7697 = 0,3248 ≈ 0,32
Odpowiedź
LR− = 0,32
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 99,3 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,84·0,97 = 0,8148
(1 − Se)·p = 0,2·0,03 = 0,006
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,8148/(0,8148 + 0,006) = 0,9927 ≈ 99,3%
Odpowiedź
NPV = 99,3%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 18,32
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,6
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Odpowiedź
P = 0,7257
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,775
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Margines błędu
E = 2,447·3/√7 = 2,775
Odpowiedź
E = 2,775
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −18,09 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (8·7² + 6·4,5²)/14 = 36,68
sp = 6,056
Margines błędu
E = 2,977·6,056·√(1/9 + 1/7) = 9,086
Przedział
−9 ± 9,086 → [−18,09, 0,08604]
Odpowiedź
dolna granica = −18,09 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,8
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statystyka testowa
t = (198,5 − 200)/0,8333 = −1,8
Odpowiedź
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 47,25
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).