Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test ma czułość 88% i swoistość 93%. Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Se = 88%Sp = 93%
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 91% i swoistości 92%. Chorobowość wynosi 15%. Ile wyników prawdziwie dodatnich TP można oczekiwać?
N = 10 000p = 15%Se = 91%Sp = 92%
TP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 43, 20, 20, 11, 24.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 160?
μ = 170σ = 5x = 160
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 74,5 i odchylenie standardowe s = 9,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 9x̄ = 74,5s = 9,599%t(8) = 3,355
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 83,5 kg, odchylenie standardowe 6 kg. Grupa poletek 2: 6 poletek, średnia 76 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 80; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 20. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 85,04. Przetestuj H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 80σ = 20n = 25x̄ = 85,04H₁: μ > μ₀
p =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ < 200 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 9. W rzeczywistości średnia wynosi 197.45. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 200μ = 197,45σ = 9n = 36α = 0,05
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,13
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,88)/0,93 = 0,129 ≈ 0,13
Odpowiedź
LR− = 0,13
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: TP = 1365
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,15 = 1500
10 000 − 1500 = 8500
Wyniki prawdziwie dodatnie
TP = 1500·0,91 = 1365
Odpowiedź
TP = 1365
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,84
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 63,88
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Margines błędu
E = 3,355·9,5/√9 = 10,62
Przedział
74,5 ± 10,62 → [63,88, 85,12]
Odpowiedź
dolna granica = 63,88
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 8,002 kg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·6² + 5·9²)/10 = 58,5
sp = 7,649
Margines błędu
E = 1,812·7,649·√(1/6 + 1/6) = 8,002
Odpowiedź
E = 8,002 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,1038
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (85,04 − 80)/4 = 1,26
Pole ogona
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
Wartość p
p = 0,1038
Odpowiedź
p = 0,1038
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 52,19 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).