Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu kohortowym osoby narażone wniosły 7800 osobolat z 234 nowymi przypadkami, a osoby nienarażone 1500 osobolat z 23 nowymi przypadkami. Oblicz iloraz współczynników zapadalności IRR (narażeni w porównaniu z nienarażonymi). Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
narażeni: 234/7800 PYnienarażeni: 23/1500 PY
IRR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 30%. Test o czułości 70% i swoistości 79% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 30%Se = 70%Sp = 79%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 28, 14, 19, 38, 47.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 27,5?
μ = 50σ = 15x = 27,5
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 26 i odchylenie standardowe s = 19. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 11x̄ = 26s = 1999%t(10) = 3,169
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?
σ = 15E = 395%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 50; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 12. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 48,38. Przetestuj H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ ≠ 50. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 50σ = 12n = 144x̄ = 48,38H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 48 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 59 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 59n₂ = 120
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IRR = 1,96
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Współczynniki zapadalności
narażeni: 234/7800 = 30 na 1000 osobolat
nienarażeni: 23/1500 = 15,33 na 1000 osobolat
Iloraz współczynników
IRR = 30/15,33 = 1,957 ≈ 1,96
Odpowiedź
IRR = 1,96
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 58,8 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,7/(1 − 0,79) = 3,333
Szanse przedtestowe
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Szanse potestowe
0,4286·3,333 = 1,429
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 1,429/(1 + 1,429) = 0,5882 ≈ 58,8%
Odpowiedź
p′ = 58,8%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,52
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 18,15
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margines błędu
E = 3,169·19/√11 = 18,15
Odpowiedź
E = 18,15
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 97
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·15/3)² = 96,04
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 97
Odpowiedź
n = 97
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,1052
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (48,38 − 50)/1 = −1,62
Pole ogona
Φ(1,62) = 0,9474
1 − Φ(1,62) = 0,0526
Wartość p
p = 2·0,0526 = 0,1052
Odpowiedź
p = 0,1052
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,505
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 48/80 = 0,6
p̂₂ = 59/120 = 0,4917
p̂ = 107/200 = 0,535
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,535·0,465·(1/80 + 1/120)) = 0,07199
Statystyka testowa
z = (0,6 − 0,4917)/0,07199 = 1,505
Odpowiedź
z = 1,505
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).