Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 640 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 930 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 121/640kontrola: 251/930
NNT =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 83% i swoistość 83%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 30%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 83%Sp = 83%p = 30%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 30, 31, 13, 16.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 97,5.
μ = 100σ = 5x = 97,5
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 21 elementów ma średnią 24,5 i odchylenie standardowe s = 12. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 21x̄ = 24,5s = 1299%t(20) = 2,845
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 9,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 123,6 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 123,6s = 12n = 64
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500 przeprowadza się na poziomie α = 0.01 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 488.9. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 500μ = 488,9σ = 24n = 64α = 0,01
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 13
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 121/640 = 0,1891
CER = 251/930 = 0,2699
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
ARR = 0,2699 − 0,1891 = 0,08083
NNT = 1/0,08083 = 12,37 → 13
Odpowiedź
NNT = 13
Leczenie 13 pacjentów zapobiega mniej więcej jednemu zdarzeniu.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 91,9 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,83·0,7 = 0,581
(1 − Se)·p = 0,17·0,3 = 0,051
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,581/(0,581 + 0,051) = 0,9193 ≈ 91,9%
Odpowiedź
NPV = 91,9%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 8,325
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (97,5 − 100)/5 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 31,95
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margines błędu
E = 2,845·12/√21 = 7,45
Przedział
24,5 ± 7,45 → [17,05, 31,95]
Odpowiedź
górna granica = 31,95
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 7,574 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·9,9² = 1960
Granice dla σ²
1960/34,17 = 57,37
1960/9,591 = 204,4
Granica dla σ
σ = √57,37 = 7,574 µm
Odpowiedź
σ = 7,574 µm
Przedział 95 % dla σ: [7,574, 14,3] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Statystyka testowa
t = (123,6 − 120)/1,5 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 91,53 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).