Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 180 pacjentów z chorobą (przypadki) i 100 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 79b = 33c = 101d = 67
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 60%. Test o czułości 67% i swoistości 89% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 60%Se = 67%Sp = 89%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 50, 49, 48, 41, 12, 44.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 82?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 20 elementów ma średnią 94 i odchylenie standardowe s = 19. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 20x̄ = 94s = 1990%t(19) = 1,729
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 31E = 590%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 121,4 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,4s = 10n = 25
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 16 pomiarów ma średnią 110,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 110,5σ = 20n = 1690%
U =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 1,59
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 79/101 = 0,7822
kontrole: 33/67 = 0,4925
Iloraz szans
OR = (79·67)/(33·101) = 1,588 ≈ 1,59
Odpowiedź
OR = 1,59
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 90,1 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,67/(1 − 0,89) = 6,091
Szanse przedtestowe
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
Szanse potestowe
1,5·6,091 = 9,136
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 9,136/(1 + 9,136) = 0,9013 ≈ 90,1%
Odpowiedź
p′ = 90,1%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,25
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,6
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Odpowiedź
P = 0,7257
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,346
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Margines błędu
E = 1,729·19/√20 = 7,346
Odpowiedź
E = 7,346
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 105
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·31/5)² = 104
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 105
Odpowiedź
n = 105
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,7
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Statystyka testowa
t = (121,4 − 120)/2 = 0,7
Odpowiedź
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 118,7
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).