Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 140 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 260 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz ryzyko względne RR zdarzenia przy leczeniu. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
leczenie: 12/140kontrola: 57/260
RR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 84% i swoistości 93%. Chorobowość wynosi 14%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 14%Se = 84%Sp = 93%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 29, 32, 20, 55, 23, 11.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 140?
μ = 170σ = 15x = 140
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 60 telefonów, średnia 105,5 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 90,5 h, znane odchylenie standardowe 18 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 97,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 13 mm. Linia 2: próba 80 części ma średnią 95,8 mm, znane odchylenie standardowe 9 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 9. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 90%δ = 3σ = 9zα = 1,645zβ = 1,282
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: RR = 0,39
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 12/140 = 0,08571
CER = 57/260 = 0,2192
Ryzyko względne
RR = 0,08571/0,2192 = 0,391 ≈ 0,39
Odpowiedź
RR = 0,39
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 1778
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,14 = 1400
10 000 − 1400 = 8600
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 1400·0,84 = 1176
FP = 8600·0,07 = 602
n₊ = 1176 + 602 = 1778
Odpowiedź
n₊ = 1778
Spośród 1778 wyników dodatnich tylko 1176 dotyczy osób z chorobą (PPV 66,1%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,91
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,792 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 105,5 − 90,5 = 15
Błąd standardowy
SE = √(15²/60 + 18²/60) = 3,025
Margines błędu
E = 2,576·3,025 = 7,792
Odpowiedź
E = 7,792 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 21,75 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (13·10² + 11·9,5²)/24 = 95,53
sp = 9,774
Margines błędu
E = 2,797·9,774·√(1/14 + 1/12) = 10,75
Przedział
11 ± 10,75 → [0,2453, 21,75]
Odpowiedź
górna granica = 21,75 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 0,8111
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(13²/50 + 9²/80) = √4,393 = 2,096
Statystyka testowa
z = (97,5 − 95,8)/2,096 = 0,8111
Odpowiedź
z = 0,8111
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 78
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.