Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu porównano nowy test ze standardem referencyjnym (zob. tabela 2 × 2). Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 203b = 189c = 57d = 1531
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 15%. Test o czułości 82% i swoistości 76% daje wynik: ujemna. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 15%Se = 82%Sp = 76%ujemna
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 56, 15, 14, 26, 43, 50.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 25. Jaka część P wartości leży powyżej 515?
μ = 500σ = 25x = 515
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 64 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,3. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 576 obserwacji?
99%n₁ = 64E₁ = 3,3n₂ = 576
E₂ =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 10 poletek, średni plon 13 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 2 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 100 studentów ma średni wynik 97,52 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 97,52s = 8n = 100
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ > 50 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 25; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 52,9. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 50μ = 52,9σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,25
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Czułość i swoistość
Se = 203/260 = 0,7808
Sp = 1531/1720 = 0,8901
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,7808)/0,8901 = 0,2463 ≈ 0,25
Odpowiedź
LR− = 0,25
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 4 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,82)/0,76 = 0,2368
Szanse przedtestowe
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Szanse potestowe
0,1765·0,2368 = 0,0418
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,0418/(1 + 0,0418) = 0,04012 ≈ 4%
Odpowiedź
p′ = 4%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,91
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,6
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Odpowiedź
P = 0,2743
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 1,1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333
Nowy margines
E₂ = 3,3·0,3333 = 1,1
Odpowiedź
E₂ = 1,1
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 8,675 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (9·2² + 6·2,5²)/15 = 4,9
sp = 2,214
Margines błędu
E = 2,131·2,214·√(1/10 + 1/7) = 2,325
Przedział
11 ± 2,325 → [8,675, 13,32]
Odpowiedź
dolna granica = 8,675 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Statystyka testowa
t = (97,52 − 100)/0,8 = −3,1
Odpowiedź
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 71,7 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).