Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 380 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 780 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 48/380kontrola: 133/780
NNT =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Leczenie zmniejsza ryzyko zdarzenia o 34% w ujęciu względnym (RRR = 34%). W grupie pacjentów ryzyko bez leczenia (CER) wynosi 36% w ciągu pięciu lat. Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT przez pięć lat, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
RRR = 34%CER = 36%
NNT =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 34, 14, 17, 19.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 35.
μ = 50σ = 15x = 35
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 64,5 h, znane odchylenie standardowe 16 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 68 h, znane odchylenie standardowe 14 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 16E = 290%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 6 uczniów, średni wynik 96, odchylenie standardowe 7,5. Grupa 2: 10 uczniów, średni wynik 103,4, odchylenie standardowe 2. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 6x̄₁ = 96s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 103,4s₂ = 2
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ < 50 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 30. W rzeczywistości średnia wynosi 41. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 50μ = 41σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 23
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 48/380 = 0,1263
CER = 133/780 = 0,1705
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
ARR = 0,1705 − 0,1263 = 0,0442
NNT = 1/0,0442 = 22,63 → 23
Odpowiedź
NNT = 23
Leczenie 23 pacjentów zapobiega mniej więcej jednemu zdarzeniu.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 9
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Zmniejszenie ryzyka bezwzględnego
ARR = 0,36·0,34 = 0,1224
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
NNT = 1/0,1224 = 8,17 → 9
Odpowiedź
NNT = 9
Ten sam efekt względny daje mniejsze NNT, gdy ryzyko wyjściowe jest wyższe.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 7,765
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (35 − 50)/15 = −1
Odpowiedź
z = −1
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 1,829 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 64,5 − 68 = −3,5
Błąd standardowy
SE = √(16²/30 + 14²/100) = 3,239
Margines błędu
E = 1,645·3,239 = 5,329
Przedział
−3,5 ± 5,329 → [−8,829, 1,829]
Odpowiedź
górna granica = 1,829 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 174
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·16/2)² = 173,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 174
Odpowiedź
n = 174
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,01
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (5·7,5² + 9·2²)/14 = 22,66
sp = 4,76
Błąd standardowy
SE = 4,76·√(1/6 + 1/10) = 2,458
Statystyka testowa
t = (96 − 103,4)/2,458 = −3,01
Odpowiedź
t = −3,01
Przy df = 14 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,145; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 95,71 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).