Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 4 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
150 × 1,5 lata70 × 1 rok4 nowe przypadki
IR = na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 72% i swoistości 77%. Chorobowość wynosi 16%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 16%Se = 72%Sp = 77%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 11, 26, 15, 60, 17.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 182,5?
μ = 170σ = 10x = 182,5
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 21 elementów ma średnią 17 i odchylenie standardowe s = 18,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 21x̄ = 17s = 18,590%t(20) = 1,725
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.
n = 20s = 9,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 75,84 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,84s = 12n = 100
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ > 200 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 25; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 10. W rzeczywistości średnia wynosi 203,8. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 200μ = 203,8σ = 10n = 25α = 0,05
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 13,6 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 150·1,5 + 70·1 = 295
Współczynnik zapadalności
IR = 4/295·1000 = 13,6 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 13,6 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 3084
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,16 = 1600
10 000 − 1600 = 8400
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 1600·0,72 = 1152
FP = 8400·0,23 = 1932
n₊ = 1152 + 1932 = 3084
Odpowiedź
n₊ = 3084
Spośród 3084 wyników dodatnich tylko 1152 dotyczy osób z chorobą (PPV 37,4%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,89
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 10,04
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Margines błędu
E = 1,725·18,5/√21 = 6,964
Przedział
17 ± 6,964 → [10,04, 23,96]
Odpowiedź
dolna granica = 10,04
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 7,377 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 19·9,7² = 1788
Granice dla σ²
1788/32,852 = 54,42
1788/8,907 = 200,7
Granica dla σ
σ = √54,42 = 7,377 µm
Odpowiedź
σ = 7,377 µm
Przedział 95 % dla σ: [7,377, 14,17] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,7
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statystyka testowa
t = (75,84 − 75)/1,2 = 0,7
Odpowiedź
t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 60,06 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).