Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test ma czułość 76% i swoistość 77%. Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Se = 76%Sp = 77%
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 96% i swoistości 99%. Chorobowość wynosi 5%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 5%Se = 96%Sp = 99%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 60, 45, 55, 37, 60.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 146.
μ = 170σ = 12x = 146
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 10 elementów ma średnią 120 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 10x̄ = 120s = 5,595%t(9) = 2,262
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 15 poletek, średni plon 45,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 39,5 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 40 części ma średnią długość 63 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 12 mm. Linia 2: próba 80 części ma średnią 57,4 mm, znane odchylenie standardowe 12 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 14. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,76)/0,77 = 0,3117 ≈ 0,31
Odpowiedź
LR− = 0,31
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 575
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 500·0,96 = 480
FP = 9500·0,01 = 95
n₊ = 480 + 95 = 575
Odpowiedź
n₊ = 575
Spośród 575 wyników dodatnich tylko 480 dotyczy osób z chorobą (PPV 83,5%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,39
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (146 − 170)/12 = −2
Odpowiedź
z = −2
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,934
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margines błędu
E = 2,262·5,5/√10 = 3,934
Odpowiedź
E = 3,934
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −1,209 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (14·9² + 6·1²)/20 = 57
sp = 7,55
Margines błędu
E = 2,086·7,55·√(1/15 + 1/7) = 7,209
Przedział
6 ± 7,209 → [−1,209, 13,21]
Odpowiedź
dolna granica = −1,209 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,41
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(12²/40 + 12²/80) = √5,4 = 2,324
Statystyka testowa
z = (63 − 57,4)/2,324 = 2,41
Odpowiedź
z = 2,41
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 315
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.