Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 41 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 89% i swoistości 75%. Chorobowość wynosi 29%. Ile wyników fałszywie dodatnich FP można oczekiwać?
N = 10 000p = 29%Se = 89%Sp = 75%
FP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 56, 60, 30, 49, 26.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 36?
μ = 60σ = 20x = 36
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
U 7 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 8,8 i odchylenie standardowe 6,9. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 7d̄ = 8,8sd = 6,999%t(6) = 3,707
E = mmHg
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 10 poletek, średni plon 89 kg, odchylenie standardowe 3,5 kg. Grupa poletek 2: 21 poletek, średnia 90,5 kg, odchylenie standardowe 4 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 16 studentów ma średni wynik 54,25 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 54,25s = 10n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 12. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 3σ = 12zα = 1,645zβ = 0,842
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 33,5 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 120·2,5 + 580·1,5 + 110·0,5 = 1225
Współczynnik zapadalności
IR = 41/1225·1000 = 33,5 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 33,5 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FP = 1775
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
Wyniki fałszywie dodatnie
FP = 7100·0,25 = 1775
Odpowiedź
FP = 1775
Spośród 4356 wyników dodatnich tylko 2581 dotyczy osób z chorobą (PPV 59,3%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,24
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Odpowiedź
P = 0,8849
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 9,668 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 6, t = 3,707
Margines błędu
E = 3,707·6,9/√7 = 9,668
Odpowiedź
E = 9,668 mmHg
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 2,579 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (9·3,5² + 20·4²)/29 = 14,84
sp = 3,852
Margines błędu
E = 2,756·3,852·√(1/10 + 1/21) = 4,079
Przedział
−1,5 ± 4,079 → [−5,579, 2,579]
Odpowiedź
górna granica = 2,579 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,7
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Statystyka testowa
t = (54,25 − 50)/2,5 = 1,7
Odpowiedź
t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 99
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.