Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu kohortowym osoby narażone wniosły 3600 osobolat z 70 nowymi przypadkami, a osoby nienarażone 600 osobolat z 8 nowymi przypadkami. Oblicz iloraz współczynników zapadalności IRR (narażeni w porównaniu z nienarażonymi). Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
narażeni: 70/3600 PYnienarażeni: 8/600 PY
IRR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 97% i swoistość 82%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 1%. Oblicz dodatnią wartość predykcyjną PPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 97%Sp = 82%p = 1%
PPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 35, 43, 30, 42, 30, 19.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 40. Wyznacz wynik z z dla wyniku 440.
μ = 500σ = 40x = 440
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 7 elementów ma średnią 39 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 7x̄ = 39s = 995%t(6) = 2,447
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?
σ = 26E = 490%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 102,6 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,6s = 5n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 30 z 100 pacjentów leczonych metodą A i 85 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 85n₂ = 250
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IRR = 1,46
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Współczynniki zapadalności
narażeni: 70/3600 = 19,44 na 1000 osobolat
nienarażeni: 8/600 = 13,33 na 1000 osobolat
Iloraz współczynników
IRR = 19,44/13,33 = 1,458 ≈ 1,46
Odpowiedź
IRR = 1,46
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: PPV = 5,2 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie dodatnie (na osobę)
Se·p = 0,97·0,01 = 0,0097
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,18·0,99 = 0,1782
Dodatnia wartość predykcyjna
PPV = 0,0097/(0,0097 + 0,1782) = 0,05162 ≈ 5,2%
Odpowiedź
PPV = 5,2%
Im niższa chorobowość, tym niższe PPV tego samego testu.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 8,165
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (440 − 500)/40 = −1,5
Odpowiedź
z = −1,5
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 47,32
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Margines błędu
E = 2,447·9/√7 = 8,324
Przedział
39 ± 8,324 → [30,68, 47,32]
Odpowiedź
górna granica = 47,32
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 115
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·26/4)² = 114,3
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 115
Odpowiedź
n = 115
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,08
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statystyka testowa
t = (102,6 − 100)/1,25 = 2,08
Odpowiedź
t = 2,08
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −0,7197
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 30/100 = 0,3
p̂₂ = 85/250 = 0,34
p̂ = 115/350 = 0,3286
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,3286·0,6714·(1/100 + 1/250)) = 0,05557
Statystyka testowa
z = (0,3 − 0,34)/0,05557 = −0,7197
Odpowiedź
z = −0,7197
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).