Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 380 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 870 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz zmniejszenie ryzyka bezwzględnego ARR w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
leczenie: 10/380kontrola: 44/870
ARR = %
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 25%. Test o czułości 78% i swoistości 86% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 25%Se = 78%Sp = 86%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 16, 51, 29, 34, 44, 14.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 77,2?
μ = 70σ = 12x = 77,2
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 97,5 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 92 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 36 studentów ma średni wynik 70,6 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,6s = 12n = 36
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 90 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 80 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 80n₂ = 150
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: ARR = 2,4 %
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 10/380 = 0,02632
CER = 44/870 = 0,05057
Zmniejszenie ryzyka bezwzględnego
ARR = 0,05057 − 0,02632 = 0,02426 ≈ 2,4%
Odpowiedź
ARR = 2,4%
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 65 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,78/(1 − 0,86) = 5,571
Szanse przedtestowe
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Szanse potestowe
0,3333·5,571 = 1,857
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 1,857/(1 + 1,857) = 0,65 = 65%
Odpowiedź
p′ = 65%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,53
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,6
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Odpowiedź
P = 0,2743
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 9,306 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 97,5 − 92 = 5,5
Błąd standardowy
SE = √(19²/100 + 4²/100) = 1,942
Margines błędu
E = 1,96·1,942 = 3,806
Przedział
5,5 ± 3,806 → [1,694, 9,306]
Odpowiedź
górna granica = 9,306 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −5,1 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·3,5² + 14·6,5²)/19 = 34,36
sp = 5,861
Margines błędu
E = 2,861·5,861·√(1/6 + 1/15) = 8,1
Przedział
3 ± 8,1 → [−5,1, 11,1]
Odpowiedź
dolna granica = −5,1 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Statystyka testowa
t = (70,6 − 75)/2 = −2,2
Odpowiedź
t = −2,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,165
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 90/150 = 0,6
p̂₂ = 80/150 = 0,5333
p̂ = 170/300 = 0,5667
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,5667·0,4333·(1/150 + 1/150)) = 0,05722
Statystyka testowa
z = (0,6 − 0,5333)/0,05722 = 1,165
Odpowiedź
z = 1,165
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).