Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 150 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 930 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: działanie niepożądane. Oblicz liczbę pacjentów potrzebnych do wyrządzenia szkody NNH: ilu pacjentów trzeba leczyć, aby u jednego dodatkowego pacjenta wystąpiło działanie niepożądane? Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 76/150kontrola: 363/930
NNH =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 40%. Test o czułości 81% i swoistości 98% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 40%Se = 81%Sp = 98%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 25, 12, 47, 52, 29, 48.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 180?
μ = 170σ = 5x = 180
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
U 6 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 8,2 i odchylenie standardowe 0,5. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 6d̄ = 8,2sd = 0,599%t(5) = 4,032
górna granica = mmHg
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 10 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 0,5 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 9 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 2,7, a 2,5 % powyżej 19,023.
n = 10s = 0,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 8 uczniów, średni wynik 108, odchylenie standardowe 12. Grupa 2: 23 uczniów, średni wynik 115,8, odchylenie standardowe 6. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 8x̄₁ = 108s₁ = 12n₂ = 23x̄₂ = 115,8s₂ = 6
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 7. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 1,5σ = 7zα = 1,645zβ = 0,842
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNH = 9
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 76/150 = 0,5067
CER = 363/930 = 0,3903
Liczba pacjentów potrzebnych do wyrządzenia szkody
ARI = 0,5067 − 0,3903 = 0,1163
NNH = 1/0,1163 = 8,595 → 9
Odpowiedź
NNH = 9
Mniej więcej u jednego na każdych 9 leczonych pacjentów występuje działanie niepożądane z powodu leczenia.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 96,4 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,81/(1 − 0,98) = 40,5
Szanse przedtestowe
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Szanse potestowe
0,6667·40,5 = 27
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 27/(1 + 27) = 0,9643 ≈ 96,4%
Odpowiedź
p′ = 96,4%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,91
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 9,023 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 5, t = 4,032
Margines błędu
E = 4,032·0,5/√6 = 0,823
Przedział
8,2 ± 0,823 → [7,377, 9,023]
Odpowiedź
górna granica = 9,023 mmHg
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 0,3439 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 9·0,5² = 2,25
Granice dla σ²
2,25/19,023 = 0,1183
2,25/2,7 = 0,8333
Granica dla σ
σ = √0,1183 = 0,3439 µm
Odpowiedź
σ = 0,3439 µm
Przedział 95 % dla σ: [0,3439, 0,9129] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,412
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (7·12² + 22·6²)/29 = 62,07
sp = 7,878
Błąd standardowy
SE = 7,878·√(1/8 + 1/23) = 3,234
Statystyka testowa
t = (108 − 115,8)/3,234 = −2,412
Odpowiedź
t = −2,412
Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 135
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.