Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 700 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 880 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: działanie niepożądane. Oblicz liczbę pacjentów potrzebnych do wyrządzenia szkody NNH: ilu pacjentów trzeba leczyć, aby u jednego dodatkowego pacjenta wystąpiło działanie niepożądane? Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 70/700kontrola: 44/880
NNH =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 99% i swoistości 86%. Chorobowość wynosi 25%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 25%Se = 99%Sp = 86%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 20, 23, 29, 37, 10.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 30.
μ = 50σ = 10x = 30
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 6 elementów ma średnią 119,5 i odchylenie standardowe s = 14,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 6x̄ = 119,5s = 14,590%t(5) = 2,015
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 7. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?
σ = 7E = 0,595%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 47,2 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,2s = 12n = 36
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 120 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 78 z 300 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 78n₂ = 300
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNH = 20
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 70/700 = 0,1
CER = 44/880 = 0,05
Liczba pacjentów potrzebnych do wyrządzenia szkody
ARI = 0,1 − 0,05 = 0,05
NNH = 1/0,05 = 20 → 20
Odpowiedź
NNH = 20
Mniej więcej u jednego na każdych 20 leczonych pacjentów występuje działanie niepożądane z powodu leczenia.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 3525
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 2500·0,99 = 2475
FP = 7500·0,14 = 1050
n₊ = 2475 + 1050 = 3525
Odpowiedź
n₊ = 3525
Spośród 3525 wyników dodatnich tylko 2475 dotyczy osób z chorobą (PPV 70,2%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,97
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (30 − 50)/10 = −2
Odpowiedź
z = −2
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 131,4
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margines błędu
E = 2,015·14,5/√6 = 11,93
Przedział
119,5 ± 11,93 → [107,6, 131,4]
Odpowiedź
górna granica = 131,4
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 753
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·7/0,5)² = 753
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 753
Odpowiedź
n = 753
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Statystyka testowa
t = (47,2 − 50)/2 = −1,4
Odpowiedź
t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 3,647
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 78/300 = 0,26
p̂ = 198/600 = 0,33
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,33·0,67·(1/300 + 1/300)) = 0,03839
Statystyka testowa
z = (0,4 − 0,26)/0,03839 = 3,647
Odpowiedź
z = 3,647
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).