Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 340 pacjentów z chorobą (przypadki) i 60 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 232b = 21c = 108d = 39
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 82% i swoistości 94%. Chorobowość wynosi 19%. Ile wyników fałszywie dodatnich FP można oczekiwać?
N = 10 000p = 19%Se = 82%Sp = 94%
FP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 25, 31, 28, 33.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 88.
μ = 100σ = 10x = 88
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 20 elementów ma średnią 27,5 i odchylenie standardowe s = 19. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 20x̄ = 27,5s = 1995%t(19) = 2,093
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 10 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 9 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 2,7, a 2,5 % powyżej 19,023.
n = 10s = 1,3 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 500; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 25. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 503,35. Przetestuj H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ ≠ 500. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 503,35H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 81 pomiarów ma średnią 98,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 98,7σ = 5n = 8195%
L =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 3,99
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 232/108 = 2,148
kontrole: 21/39 = 0,5385
Iloraz szans
OR = (232·39)/(21·108) = 3,989 ≈ 3,99
Odpowiedź
OR = 3,99
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FP = 486
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,19 = 1900
10 000 − 1900 = 8100
Wyniki fałszywie dodatnie
FP = 8100·0,06 = 486
Odpowiedź
FP = 486
Spośród 2044 wyników dodatnich tylko 1558 dotyczy osób z chorobą (PPV 76,2%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,65
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (88 − 100)/10 = −1,2
Odpowiedź
z = −1,2
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 18,61
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margines błędu
E = 2,093·19/√20 = 8,892
Przedział
27,5 ± 8,892 → [18,61, 36,39]
Odpowiedź
dolna granica = 18,61
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 0,8942 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 9·1,3² = 15,21
Granice dla σ²
15,21/19,023 = 0,7996
15,21/2,7 = 5,633
Granica dla σ
σ = √0,7996 = 0,8942 µm
Odpowiedź
σ = 0,8942 µm
Przedział 95 % dla σ: [0,8942, 2,373] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,1802
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (503,35 − 500)/2,5 = 1,34
Pole ogona
Φ(1,34) = 0,9099
1 − Φ(1,34) = 0,0901
Wartość p
p = 2·0,0901 = 0,1802
Odpowiedź
p = 0,1802
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 97,61
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).