Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu kohortowym osoby narażone wniosły 700 osobolat z 6 nowymi przypadkami, a osoby nienarażone 2000 osobolat z 36 nowymi przypadkami. Oblicz iloraz współczynników zapadalności IRR (narażeni w porównaniu z nienarażonymi). Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
narażeni: 6/700 PYnienarażeni: 36/2000 PY
IRR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 81% i swoistości 92%. Chorobowość wynosi 11%. Ile wyników fałszywie dodatnich FP można oczekiwać?
N = 10 000p = 11%Se = 81%Sp = 92%
FP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 53, 18, 31, 55, 58, 52.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 160.
μ = 170σ = 20x = 160
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 54 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 58 h, znane odchylenie standardowe 10 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?
σ = 24E = 390%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 506,3 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 506,3s = 12n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 21. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 5σ = 21zα = 1,645zβ = 0,842
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IRR = 0,48
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Współczynniki zapadalności
narażeni: 6/700 = 8,571 na 1000 osobolat
nienarażeni: 36/2000 = 18 na 1000 osobolat
Iloraz współczynników
IRR = 8,571/18 = 0,4762 ≈ 0,48
Odpowiedź
IRR = 0,48
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FP = 712
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,11 = 1100
10 000 − 1100 = 8900
Wyniki fałszywie dodatnie
FP = 8900·0,08 = 712
Odpowiedź
FP = 712
Spośród 1603 wyników dodatnich tylko 891 dotyczy osób z chorobą (PPV 55,6%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,16
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (160 − 170)/20 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −10,18 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 58 = −4
Błąd standardowy
SE = √(15²/50 + 10²/80) = 2,398
Margines błędu
E = 2,576·2,398 = 6,177
Przedział
−4 ± 6,177 → [−10,18, 2,177]
Odpowiedź
dolna granica = −10,18 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 174
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·24/3)² = 173,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 174
Odpowiedź
n = 174
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statystyka testowa
t = (506,3 − 500)/3 = 2,1
Odpowiedź
t = 2,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 110
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.