Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W kohorcie obserwowano grupy osób przez różny czas (zob. tabela: liczba osób i lata obserwacji dla każdej). W trakcie obserwacji wystąpiło 19 nowych przypadków. Oblicz współczynnik zapadalności IR na 1000 osobolat. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
560 × 5 lata510 × 3 lata19 nowe przypadki
IR = na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 5%. Test o czułości 74% i swoistości 64% daje wynik: dodatnia. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 5%Se = 74%Sp = 64%dodatnia
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 59, 27, 52, 51, 27, 31.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 35?
μ = 50σ = 15x = 35
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
U 20 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 8,2 i odchylenie standardowe 2,4. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 20d̄ = 8,2sd = 2,490%t(19) = 1,729
górna granica = mmHg
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 17 poletek, średni plon 70,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Grupa poletek 2: 14 poletek, średnia 59 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 40 części ma średnią długość 110 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 14 mm. Linia 2: próba 50 części ma średnią 113,5 mm, znane odchylenie standardowe 11 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Próba 49 pomiarów ma średnią 51,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 51,8σ = 5n = 4990%
U =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IR = 4,4 na 1000 osobolat
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Osobolata
PY = 560·5 + 510·3 = 4330
Współczynnik zapadalności
IR = 19/4330·1000 = 4,4 na 1000 osobolat
Odpowiedź
IR = 4,4 na 1000 osobolat
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 9,8 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR+ = 0,74/(1 − 0,64) = 2,056
Szanse przedtestowe
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Szanse potestowe
0,05263·2,056 = 0,1082
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,1082/(1 + 0,1082) = 0,09763 ≈ 9,8%
Odpowiedź
p′ = 9,8%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,77
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 9,128 mmHg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 19, t = 1,729
Margines błędu
E = 1,729·2,4/√20 = 0,9279
Przedział
8,2 ± 0,9279 → [7,272, 9,128]
Odpowiedź
górna granica = 9,128 mmHg
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 17,3 kg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (16·9² + 13·10²)/29 = 89,52
sp = 9,461
Margines błędu
E = 1,699·9,461·√(1/17 + 1/14) = 5,801
Przedział
11,5 ± 5,801 → [5,699, 17,3]
Odpowiedź
górna granica = 17,3 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,294
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(14²/40 + 11²/50) = √7,32 = 2,706
Statystyka testowa
z = (110 − 113,5)/2,706 = −1,294
Odpowiedź
z = −1,294
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 52,97
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).