Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 90 pacjentów z chorobą (przypadki) i 360 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 55b = 140c = 35d = 220
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 75% i swoistość 83%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 30%. Oblicz dodatnią wartość predykcyjną PPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 75%Sp = 83%p = 30%
PPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 58, 43, 23, 38.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 72,5?
μ = 60σ = 10x = 72,5
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 6 elementów ma średnią 14,5 i odchylenie standardowe s = 18. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 6x̄ = 14,5s = 1890%t(5) = 2,015
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 2,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.
n = 15s = 2,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 52,88 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,88s = 12n = 100
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 83. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 80μ = 83σ = 24n = 64α = 0,05
1 − β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 2,47
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 55/35 = 1,571
kontrole: 140/220 = 0,6364
Iloraz szans
OR = (55·220)/(140·35) = 2,469 ≈ 2,47
Odpowiedź
OR = 2,47
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: PPV = 65,4 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie dodatnie (na osobę)
Se·p = 0,75·0,3 = 0,225
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,17·0,7 = 0,119
Dodatnia wartość predykcyjna
PPV = 0,225/(0,225 + 0,119) = 0,6541 ≈ 65,4%
Odpowiedź
PPV = 65,4%
Im niższa chorobowość, tym niższe PPV tego samego testu.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,22
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −0,3072
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margines błędu
E = 2,015·18/√6 = 14,81
Przedział
14,5 ± 14,81 → [−0,3072, 29,31]
Odpowiedź
dolna granica = −0,3072
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 2,123 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 14·2,9² = 117,7
Granice dla σ²
117,7/26,119 = 4,508
117,7/5,629 = 20,92
Granica dla σ
σ = √4,508 = 2,123 µm
Odpowiedź
σ = 2,123 µm
Przedział 95 % dla σ: [2,123, 4,573] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statystyka testowa
t = (52,88 − 50)/1,2 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 25,95 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).