Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 850 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 190 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz zmniejszenie ryzyka bezwzględnego ARR w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
leczenie: 38/850kontrola: 17/190
ARR = %
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 60%. Test o czułości 63% i swoistości 90% daje wynik: ujemna. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 60%Se = 63%Sp = 90%ujemna
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 43, 13, 54, 39, 31.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 20?
μ = 50σ = 15x = 20
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 9. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 72 obserwacjach?
90%n₁ = 36E₁ = 995%n₂ = 72
E₂ =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 19. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 19E = 1,599%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 96,9 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,9s = 8n = 64
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 72 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 102 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 102n₂ = 150
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: ARR = 4,5 %
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 38/850 = 0,04471
CER = 17/190 = 0,08947
Zmniejszenie ryzyka bezwzględnego
ARR = 0,08947 − 0,04471 = 0,04477 ≈ 4,5%
Odpowiedź
ARR = 4,5%
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 38,1 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,63)/0,9 = 0,4111
Szanse przedtestowe
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
Szanse potestowe
1,5·0,4111 = 0,6167
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,6167/(1 + 0,6167) = 0,3814 ≈ 38,1%
Odpowiedź
p′ = 38,1%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,3
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 180/5 = 36
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 7² + (−23)² + 18² + 3² + (−5)² = 936
Odchylenie standardowe
s = √(936/4) = 15,3
Odpowiedź
s = 15,3
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,02275
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 7,583
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/72) = 0,8425
Nowy margines
E₂ = 9·0,8425 = 7,583
Odpowiedź
E₂ = 7,583
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1065
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·19/1,5)² = 1065
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1065
Odpowiedź
n = 1065
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Statystyka testowa
t = (96,9 − 100)/1 = −3,1
Odpowiedź
t = −3,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,365
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 72/120 = 0,6
p̂₂ = 102/150 = 0,68
p̂ = 174/270 = 0,6444
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,6444·0,3556·(1/120 + 1/150)) = 0,05863
Statystyka testowa
z = (0,6 − 0,68)/0,05863 = −1,365
Odpowiedź
z = −1,365
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).