Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 460 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 380 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 52/460kontrola: 53/380
NNT =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 71% i swoistość 86%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 1%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 71%Sp = 86%p = 1%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 41, 31, 47, 28, 60, 58.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 80.
μ = 70σ = 10x = 80
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 16 elementów ma średnią 91 i odchylenie standardowe s = 18,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 16x̄ = 91s = 18,595%t(15) = 2,131
E =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.
n = 11s = 1,7 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 119,1 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 4n = 36
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 8E = 395%
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 38
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 52/460 = 0,113
CER = 53/380 = 0,1395
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
ARR = 0,1395 − 0,113 = 0,02643
NNT = 1/0,02643 = 37,84 → 38
Odpowiedź
NNT = 38
Leczenie 38 pacjentów zapobiega mniej więcej jednemu zdarzeniu.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 99,7 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,86·0,99 = 0,8514
(1 − Se)·p = 0,29·0,01 = 0,0029
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,8514/(0,8514 + 0,0029) = 0,9966 ≈ 99,7%
Odpowiedź
NPV = 99,7%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,4
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (80 − 70)/10 = 1
Odpowiedź
z = 1
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 9,856
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margines błędu
E = 2,131·18,5/√16 = 9,856
Odpowiedź
E = 9,856
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 1,188 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 10·1,7² = 28,9
Granice dla σ²
28,9/20,483 = 1,411
28,9/3,247 = 8,901
Granica dla σ
σ = √1,411 = 1,188 µm
Odpowiedź
σ = 1,188 µm
Przedział 95 % dla σ: [1,188, 2,983] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,35
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statystyka testowa
t = (119,1 − 120)/0,6667 = −1,35
Odpowiedź
t = −1,35
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 28
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).