Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test ma czułość 74% i swoistość 83%. Oblicz ujemny iloraz wiarygodności LR−. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Se = 74%Sp = 83%
LR− =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Leczenie zmniejsza ryzyko zdarzenia o 29% w ujęciu względnym (RRR = 29%). W grupie pacjentów ryzyko bez leczenia (CER) wynosi 13% w ciągu pięciu lat. Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT przez pięć lat, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
RRR = 29%CER = 13%
NNT =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 35, 11, 13, 43, 31.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Wyznacz wynik z z dla wyniku 593,8.
μ = 500σ = 75x = 593,8
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 107,5 i odchylenie standardowe s = 7. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 11x̄ = 107,5s = 790%t(10) = 1,812
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,6 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.
n = 20s = 6,6 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 64,5 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 64,5s = 20n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ < 100 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12. W rzeczywistości średnia wynosi 97.6. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 100μ = 97,6σ = 12n = 64α = 0,05
β = %
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR− = 0,31
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Ujemny iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,74)/0,83 = 0,3133 ≈ 0,31
Odpowiedź
LR− = 0,31
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 27
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Zmniejszenie ryzyka bezwzględnego
ARR = 0,13·0,29 = 0,0377
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
NNT = 1/0,0377 = 26,53 → 27
Odpowiedź
NNT = 27
Ten sam efekt względny daje mniejsze NNT, gdy ryzyko wyjściowe jest wyższe.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,03
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (593,8 − 500)/75 = 1,25
Odpowiedź
z = 1,25
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 111,3
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margines błędu
E = 1,812·7/√11 = 3,824
Przedział
107,5 ± 3,824 → [103,7, 111,3]
Odpowiedź
górna granica = 111,3
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 9,64 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 19·6,6² = 827,6
Granice dla σ²
827,6/32,852 = 25,19
827,6/8,907 = 92,92
Granica dla σ
σ = √92,92 = 9,64 µm
Odpowiedź
σ = 9,64 µm
Przedział 95 % dla σ: [5,019, 9,64] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,9
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statystyka testowa
t = (64,5 − 50)/5 = 2,9
Odpowiedź
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 51,79 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).