Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 850 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 270 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz zmniejszenie ryzyka względnego RRR w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
leczenie: 199/850kontrola: 105/270
RRR = %
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Pacjent ma przedtestowe prawdopodobieństwo choroby 5%. Test o czułości 61% i swoistości 92% daje wynik: ujemna. Oblicz potestowe prawdopodobieństwo choroby p′ w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
przedtestowe 5%Se = 61%Sp = 92%ujemna
p′ = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 25, 15, 25, 31, 16, 38.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 80?
μ = 100σ = 10x = 80
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 41 i odchylenie standardowe s = 11,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 9x̄ = 41s = 11,590%t(8) = 1,86
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,02?
p = 0,5E = 0,0299%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 501,4 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,4s = 12n = 100
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 90 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 42 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 42n₂ = 120
z =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: RRR = 39,8 %
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 199/850 = 0,2341
CER = 105/270 = 0,3889
Zmniejszenie ryzyka względnego
ARR = 0,3889 − 0,2341 = 0,1548
RRR = 0,1548/0,3889 = 0,398 ≈ 39,8%
Odpowiedź
RRR = 39,8%
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: p′ = 2,2 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Iloraz wiarygodności
LR− = (1 − 0,61)/0,92 = 0,4239
Szanse przedtestowe
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Szanse potestowe
0,05263·0,4239 = 0,02231
Prawdopodobieństwo potestowe
p′ = 0,02231/(1 + 0,02231) = 0,02182 ≈ 2,2%
Odpowiedź
p′ = 2,2%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 9,034
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 48,13
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Margines błędu
E = 1,86·11,5/√9 = 7,13
Przedział
41 ± 7,13 → [33,87, 48,13]
Odpowiedź
górna granica = 48,13
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147
Zaokrąglij w górę
n = 4148
Odpowiedź
n = 4148
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,167
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statystyka testowa
t = (501,4 − 500)/1,2 = 1,167
Odpowiedź
t = 1,167
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −0,9972
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 90/300 = 0,3
p̂₂ = 42/120 = 0,35
p̂ = 132/420 = 0,3143
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,3143·0,6857·(1/300 + 1/120)) = 0,05014
Statystyka testowa
z = (0,3 − 0,35)/0,05014 = −0,9972
Odpowiedź
z = −0,9972
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).