Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (wełna mineralna) i 150 mm (drewno), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 22 °C i -12 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 22 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (wełna mineralna) i 25 mm (styropian) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -10 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 12 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 190 kW. Gorący płyn stygnie od 100 do 60 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 40 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 190 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 100 → 60 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 140 °C, a zimny 30 °C. Wymiennik ma A = 6 m² i U = 500 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 140 °CTc,in = 30 °CA = 6 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 40,21 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·4) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,8456 = 40,21 W
Odpowiedź
Q̇ = 40,21 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 50,46 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·12) = 0,5208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·12) = 0,05952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,5945 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (20 − (-10))/0,5945 = 50,46 W
Odpowiedź
Q̇ = 50,46 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 4,566 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 40 = 20 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 20)/ln(75/20) = 41,61 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 190000/(1000·41,61) = 4,566 m²
Odpowiedź
A = 4,566 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Th,out = 66,67 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Stała różnica temperatur
Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła
1,5·(140 − Th,out) = 3·(Th,out − 30)
Th,out = (1,5·140 + 3·30)/(1,5 + 3) = 66,67 °C
Odpowiedź
Th,out = 66,67 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 110 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 103,3 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer