Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Cegła, k = 0,72200 mmStyropian, k = 0,035150 mm15 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 200 mm (cegła) i 150 mm (styropian), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 15 °C i 7 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 15 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Wełna mineralna, k = 0,0450 mmCegła, k = 0,7275 mmpomieszczenie 21 °Cna zewnątrz 5 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 50 mm (wełna mineralna) i 75 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 5 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT100 °C15 °C40 °CΔT₁ΔT₂kondensująca para

W skraplaczu para skrapla się na zewnętrznej powierzchni rur w stałej temperaturze 100 °C. Woda chłodząca (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) płynie przez rury i nagrzewa się od 15 do 40 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 2000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Ts = 100 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 40 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT155 °C115 °C100,4 °C20 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 155 do 115 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 0,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 20 °C. Przy U = 300 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 115 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 14,51 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·4) = 0,06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/1,141 = 7,012 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 7,012·0,06944 = 14,51 °C

Odpowiedź

Ti = 14,51 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 19,29 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1951 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (21 − (5))/0,1951 = 82,01 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 82,01·0,02083 = 19,29 °C

Odpowiedź

Ts = 19,29 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 1,092 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Moc cieplna po stronie wody

Q̇ = 1,5·4,18·(40 − 15) = 156,8 kW

Różnice temperatur na końcach

ΔT₁ = 100 − 15 = 85 K
ΔT₂ = 100 − 40 = 60 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 60)/ln(85/60) = 71,78 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 156750/(2000·71,78) = 1,092 m²

Odpowiedź

A = 1,092 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 7,676 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·40 = 168 kW
Tc,out = 20 + 168/(0,5·4,18) = 100,4 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 100,4 = 54,62 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 20 = 95 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (54,62 − 95)/ln(54,62/95) = 72,96 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168000/(300·72,96) = 7,676 m²

Odpowiedź

A = 7,676 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer