Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Cegła, k = 0,72100 mmPłyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17150 mm24 °C6 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 100 mm (cegła) i 150 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 6 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 6 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 24 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,1750 mmStyropian, k = 0,03525 mmpomieszczenie 20 °Cna zewnątrz 5 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 25 mm (styropian) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 5 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT130 °C30 °C80 °CΔT₁ΔT₂kondensująca para

W skraplaczu para skrapla się na zewnętrznej powierzchni rur w stałej temperaturze 130 °C. Woda chłodząca (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) płynie przez rury i nagrzewa się od 30 do 80 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Ts = 130 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 80 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT135 °C60 °C16,28 °C10 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 135 do 60 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 3 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 10 °C. Przy U = 1000 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 21,55 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,1702 = 105,8 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 105,8·0,02315 = 21,55 °C

Odpowiedź

Ti = 21,55 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 18,69 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·8) = 0,08929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1436 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (20 − (5))/0,1436 = 104,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 104,5·0,0125 = 18,69 °C

Odpowiedź

Ts = 18,69 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 7,726 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Moc cieplna po stronie wody

Q̇ = 4·4,18·(80 − 30) = 836 kW

Różnice temperatur na końcach

ΔT₁ = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = 130 − 80 = 50 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 50)/ln(100/50) = 72,13 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 836000/(1500·72,13) = 7,726 m²

Odpowiedź

A = 7,726 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 0,991 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·75 = 78,75 kW
Tc,out = 10 + 78,75/(3·4,18) = 16,28 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 16,28 = 118,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (118,7 − 50)/ln(118,7/50) = 79,47 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 78750/(1000·79,47) = 0,991 m²

Odpowiedź

A = 0,991 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer