Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Beton, k = 1,450 mmPłyta gipsowo-kartonowa, k = 0,1750 mm25 °C-14 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 50 mm (beton) i 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 25 °C i -14 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Szkło, k = 0,96100 mmStyropian, k = 0,03525 mmpomieszczenie 21 °Cna zewnątrz -14 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 100 mm (szkło) i 25 mm (styropian) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -14 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT170 °C110 °C30 °C40 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 460 kW. Gorący płyn stygnie od 170 do 110 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 40 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 800 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 460 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 170 → 110 °CTc: 30 → 40 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT120 °C95 °C32,29 °C30 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) stygnie od 120 do 95 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 3 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 30 °C. Przy U = 500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 95 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 20,78 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,02749 = 1419 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 1419·0,002976 = 20,78 °C

Odpowiedź

Ti = 20,78 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 16,6 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·8) = 0,08929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,1242 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (21 − (-14))/0,1242 = 281,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 281,8·0,01563 = 16,6 °C

Odpowiedź

Ts = 16,6 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 5,694 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 170 − 30 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 110 − 40 = 70 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 70)/ln(140/70) = 101 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 460000/(800·101) = 5,694 m²

Odpowiedź

A = 5,694 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 0,7587 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·25 = 28,75 kW
Tc,out = 30 + 28,75/(3·4,18) = 32,29 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 32,29 = 87,71 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 30 = 65 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87,71 − 65)/ln(87,71/65) = 75,79 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 28750/(500·75,79) = 0,7587 m²

Odpowiedź

A = 0,7587 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer