Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Szkło, k = 0,96250 mmCegła, k = 0,72150 mm24 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 250 mm (szkło) i 150 mm (cegła), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i -1 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 24 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Beton, k = 1,450 mmWełna mineralna, k = 0,0450 mmpomieszczenie 22 °Cna zewnątrz -2 °CQ̇

Ściana z 50 mm (beton) i 50 mm (wełna mineralna) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -2 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 15 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT180 °C155 °C15 °C85 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 230 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 10 m². Gorący płyn stygnie od 180 do 155 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 85 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.

Q̇ = 230 kWA = 10 m²Th: 180 → 155 °CTc: 15 → 85 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT150 °C45 °C50,17 °C15 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 150 do 45 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 1,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 15 °C. Przy U = 500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 45 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 10,11 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·20) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,02344 = 1067 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 1067·0,01302 = 10,11 °C

Odpowiedź

Ti = 10,11 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: U = 0,7014 W/(m²·K)

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,09505 K/W

Współczynnik przenikania

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,09505) = 0,7014 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 0,7014 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: U = 207,6 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 180 − 15 = 165 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 155 − 85 = 70 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (165 − 70)/ln(165/70) = 110,8 K

Współczynnik przenikania

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 230000/(10·110,8) = 207,6 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 207,6 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 7,593 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·105 = 220,5 kW
Tc,out = 15 + 220,5/(1,5·4,18) = 50,17 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 50,17 = 99,83 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (99,83 − 30)/ln(99,83/30) = 58,08 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 220500/(500·58,08) = 7,593 m²

Odpowiedź

A = 7,593 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer