Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 200 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 50 mm (drewno), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 10 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 50 mm (cegła) i 150 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 2 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 6 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 170 kW. Gorący płyn stygnie od 80 do 65 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 50 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 170 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 80 → 65 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (0,2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 105 do 60 °C. Woda (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 15 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 20 mm, a U = 250 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 60 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 114,2 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,1225 = 114,2 W
Odpowiedź
Q̇ = 114,2 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,8969 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,1858 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,1858) = 0,8969 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,8969 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 8,243 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 50 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 55)/ln(30/55) = 41,24 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(500·41,24) = 8,243 m²
Odpowiedź
A = 8,243 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 20,95 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 0,2·2,3·(105 − 60) = 20,7 kW
Tc,out = 15 + 20,7/(1·4,18) = 19,95 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 19,95 = 85,05 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85,05 − 45)/ln(85,05/45) = 62,91 K
Powierzchnia i długość
A = 20700/(250·62,91) = 1,316 m²
L = A/(πD) = 1,316/(π·0,02) = 20,95 m
Odpowiedź
L = 20,95 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer