Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (szkło) i 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 8 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 18 °C i -10 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 100 mm (styropian) i 100 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -13 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła (jeden przepływ w płaszczu, dwa przepływy w rurach) ma przekazywać 610 kW. Gorący płyn stygnie od 170 do 80 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 30 °C. Współczynnik poprawkowy LMTD dla tego układu wynosi F = 0,9, a U = 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 610 kWF = 0,9U = 1000 W/(m²·K)Th: 170 → 80 °CTc: 15 → 30 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) stygnie od 105 do 45 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 0,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 20 °C. Przy U = 800 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 45 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 4,851 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·8) = 0,03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,06932 = 403,9 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 403,9·0,03255 = 4,851 °C
Odpowiedź
Ti = 4,851 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 194 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1804 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (22 − (-13))/0,1804 = 194 W
Odpowiedź
Q̇ = 194 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 6,934 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach (przeciwprąd)
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 30 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 65)/ln(140/65) = 97,75 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 610000/(1000·0,9·97,75) = 6,934 m²
Odpowiedź
A = 6,934 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 2,625 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·60 = 75 kW
Tc,out = 20 + 75/(0,5·4,18) = 55,89 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 55,89 = 49,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (49,11 − 25)/ln(49,11/25) = 35,71 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 75000/(800·35,71) = 2,625 m²
Odpowiedź
A = 2,625 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer