Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (wełna mineralna) i 100 mm (drewno), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 25 °C i -10 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (drewno) i 75 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 1 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 15 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 300 kW. Gorący płyn stygnie od 140 do 55 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 40 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 300 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 140 → 55 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 100 do 50 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 2 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 25 °C. Przy U = 1000 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 285,6 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,1225 = 285,6 W
Odpowiedź
Q̇ = 285,6 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 19,07 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,1368 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (20 − (1))/0,1368 = 138,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 138,9·0,006667 = 19,07 °C
Odpowiedź
Ts = 19,07 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 4,074 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 40 = 15 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 15)/ln(115/15) = 49,09 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 300000/(1500·49,09) = 4,074 m²
Odpowiedź
A = 4,074 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 1,214 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·50 = 52,5 kW
Tc,out = 25 + 52,5/(2·4,18) = 31,28 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 31,28 = 68,72 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,72 − 25)/ln(68,72/25) = 43,24 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 52500/(1000·43,24) = 1,214 m²
Odpowiedź
A = 1,214 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer