Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 1,5 mH = 1 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 0,5 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 10 kPaQ = ?

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 100 mm i średnicy gardzieli 60 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 10 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 10 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12Δh = 350 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 80 mm, gardziel 40 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 350 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,96. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 350 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 1,1 m/sD = 150 mmL = 500 mf = 0,02

Woda płynie z prędkością średnią 1,1 m/s przez rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 1,1 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 10swobodny wypływH = ?L = 300 m, D = 250 mm, f = 0,0182× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 10). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 10 L/sH = 64 m

Pompa o sprawności 80% tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 64 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.

Q = 10 L/sH = 64 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
200 kPa (nadciśnienie)PQ = 100 L/sΔz = 25 mL = 500 m, D = 250 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 25 m wyżej. Rura ma długość 500 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 200 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 100 L/sΔz = 25 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 4,5 my = 2,2 m1 : 1n = 0,03, S = 0,002

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość dna 4,5 m i nachylenie skarp 1:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4,5 my = 2,2 mz = 1n = 0,03S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 250 mmn = 0,013, V = 0,6 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 19,62 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
zasuwad = 1,5 mH = 1 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN

Odpowiedź

F = 19,62 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 1,4 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
zasuwad = 0,5 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,25·2,25 = 34,76 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,25 + 0,4219/(1,25·2,25) = 1,4 m

Odpowiedź

ycp = 1,4 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 13,55 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·10000/(1000·(1 − 0,1296))) = 4,794 m/s
v1 = 1,726 m/s

Natężenie przepływu

Q = A2·v2 = 0,002827·4,794 = 0,01355 m³/s = 13,55 L/s

Odpowiedź

Q = 13,55 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 11,59 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,35 = 43262 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 40/80 = 0,5
v2 = √(2·43262/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,607 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,001257·9,607 = 0,01159 m³/s = 11,59 L/s

Odpowiedź

Q = 11,59 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 4,111 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,15)·1,1²/(2·9,81) = 4,111 m

Odpowiedź

hf = 4,111 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 16,04 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 21,6 + 11,1)·0,4759 = 16,04 m

Odpowiedź

H = 16,04 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 7,848 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·64 = 6,278 kW

Moc na wale

Pshaft = Ph/η = 6,278/0,8 = 7,848 kW

Odpowiedź

Pshaft = 7,848 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 53,43 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2115 = 8,038 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 25 + 20,39 + 8,038 = 53,43 m

Odpowiedź

H = 53,43 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 27,17 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·2,2)·2,2 = 14,74 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 10,72 m
R = A/P = 1,375 m

Prędkość

V = (1/0,03)·1,3752/3·0,0021/2 = 1,843 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 14,74·1,843 = 27,17 m³/s

Odpowiedź

Q = 27,17 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002453 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1575)² = 0,002453

Odpowiedź

S = 0,002453

To spadek o 2,453 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering