Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 1,5 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
12d1​ = 100 mm, p1​ = 330 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 330 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 330 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12Δh = 300 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 100 mm, gardziel 60 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 300 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,95. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 300 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 10 L/sD = 100 mmL = 100 mf = 0,022

Woda płynie z natężeniem 10 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 5Δz = ?L = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0184× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 50 L/sH = 22 m

Pompa o sprawności 78% tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 22 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.

Q = 50 L/sH = 22 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 50 L/sΔz = 7 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 2,5

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 2,5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 2,5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 3 my = 1,3 m3 : 1n = 0,015, S = 0,004

Trapezowy kanał (mur ceglany) ma szerokość dna 3 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3 my = 1,3 mz = 3n = 0,015S = 0,004
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 450 mmn = 0,013, V = 0,9 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 450 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,9 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 67,44 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
zasuwad = 1,5 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

Odpowiedź

F = 67,44 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 2,818 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
zasuwad = 2 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 0,4219/(2,75·2,25) = 2,818 m

Odpowiedź

ycp = 2,818 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p2 = 328,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(100/75)² = 2,222 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,222²)/1000 = −1,688 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−1,688) = 328,3 kPa

Odpowiedź

p2 = 328,3 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 24,79 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,3 = 37082 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·37082/(1000·(1 − 0,1296))) = 9,231 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,002827·9,231 = 0,02479 m³/s = 24,79 L/s

Odpowiedź

Q = 24,79 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 1,818 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 1,818 m

Odpowiedź

hf = 1,818 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 1,286 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s
V²/(2g) = 0,06529 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Całkowita strata wysokości

hf = 12·0,06529 = 0,7834 m
hm = 7,7·0,06529 = 0,5027 m
Δz = hf + hm = 1,286 m

Odpowiedź

Δz = 1,286 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 13,83 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·22 = 10,79 kW

Moc na wale

Pshaft = Ph/η = 10,79/0,78 = 13,83 kW

Odpowiedź

Pshaft = 13,83 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 16,18 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 2,5)·0,408 = 9,181 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 7 + 9,181 = 16,18 m

Odpowiedź

H = 16,18 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 32,57 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,3)·1,3 = 8,97 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 11,22 m
R = A/P = 0,7993 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,79932/3·0,0041/2 = 3,632 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 8,97·3,632 = 32,57 m³/s

Odpowiedź

Q = 32,57 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002521 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,233)² = 0,002521

Odpowiedź

S = 0,002521

To spadek o 2,521 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering