Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 2,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,6. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 2,5 mCd = 0,6g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm i wznosi się o 3 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 140 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 140 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z prędkością średnią 1,3 m/s przez rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
V = 1,3 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 27 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 27 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 38 m. Sprawność pompy wynosi 80%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 92%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 15 L/sH = 38 mηpump = 80%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 75 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 38 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 75 L/sΔz = 38 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (czysty grunt) ma szerokość dna 5 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 5 my = 1,4 mz = 2n = 0,022S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Trapezowy kanał (żwir) o szerokości dna 4 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 22 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 22 m³/sb = 4 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,025
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 19,62 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN
Odpowiedź
F = 19,62 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 207,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,75·7,5 = 207,4 kN
Odpowiedź
F = 207,4 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 2,97 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Idealna prędkość strumienia
√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,6·0,0007069·7,004 = 0,00297 m³/s = 2,97 L/s
Odpowiedź
Q = 2,97 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 105,8 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 140 + (−4,758) − 29,43 = 105,8 kPa
Odpowiedź
p2 = 105,8 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 3,101 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,25)·1,3²/(2·9,81) = 3,101 m
Odpowiedź
hf = 3,101 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 79,71 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
27 = (13,33 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·27/26,03) = 4,511 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,511·0,01767 = 0,07971 m³/s = 79,71 L/s
Odpowiedź
Q = 79,71 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 7,597 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·38 = 5,592 kW
Moc na wale
Pshaft = 5,592/0,8 = 6,99 kW
Moc elektryczna
Pel = 6,99/0,92 = 7,597 kW
Odpowiedź
Pel = 7,597 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 59,54 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 8)·0,2905 = 6,245 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 38 + 15,29 + 6,245 = 59,54 m
Odpowiedź
H = 59,54 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 18,83 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,4)·1,4 = 10,92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 11,26 m
R = A/P = 0,9697 m
Prędkość
V = (1/0,022)·0,96972/3·0,00151/2 = 1,725 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 10,92·1,725 = 18,83 m³/s
Odpowiedź
Q = 18,83 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0007892 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·2,2)·2,2 = 16,06 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 11,93 m
R = A/P = 1,346 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·22/(16,06·1,219) = 0,02809
S = 0,02809² = 0,0007892
Odpowiedź
S = 0,0007892
To spadek o 0,7892 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering