Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 35 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 100 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 80 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 35 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm i wznosi się o 7 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 340 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,1 m/s przez poziomą rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,1 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 10). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 62 m, a jej wał pobiera 8,4 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 10 L/sH = 62 mP_shaft = 8,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 72%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (wygładzony beton) ma szerokość 1,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 1,5 my = 1,2 mn = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 5 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 36 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 36 m³/sb = 5 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 58,86 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Odpowiedź

F = 58,86 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 3,889 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·7,5 = 242,8 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Odpowiedź

y_cp = 3,889 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 87,97 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,035/0,01767 = 1,981 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,035/0,007854 = 4,456 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(4,456² − 1,981²)/1000 = 80 + 7,968 = 87,97 kPa

Odpowiedź

p₁ = 87,97 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 263,8 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−7,5) − 68,67 = 263,8 kPa

Odpowiedź

p₂ = 263,8 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 7,26 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,25)·1,1²/(2·9,81) = 0,7401 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,7401 = 7260 Pa = 7,26 kPa

Odpowiedź

Δp = 7,26 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 2,068 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 26,4 + 11,7)·0,05288 = 2,068 m

Odpowiedź

H = 2,068 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 72,41 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·62 = 6,082 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 6,082/8,4 = 72,41%

Odpowiedź

η = 72,41%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 6,427 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,08263 = 4,792 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 7 + 4,792 = 11,79 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·11,79/0,72 = 6,427 kW

Odpowiedź

P_shaft = 6,427 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 6,335 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1,5·1,2 = 1,8 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,2 = 3,9 m

R = A/P = 0,4615 m

Prędkość

V = (1/0,012)·0,4615^2/3·0,005^1/2 = 3,519 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 1,8·3,519 = 6,335 m³/s

Odpowiedź

Q = 6,335 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002026 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1,5·1,5)·1,5 = 10,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 10,41 m

R = A/P = 1,045 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·36/(10,88·1,03) = 0,04501

S = 0,04501² = 0,002026

Odpowiedź

S = 0,002026

To spadek o 2,026 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering